[論文レビュー] On the R-boundedness of stochastic convolution operators

Jan van Neerven, Mark Veraar+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2014

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、バナッハラティスにおけるスカラー値の平方可積分核を持つ確率的畳み込み作用素のR有界性についての特徴付けを確立し、それが関連する確定的畳み込み作用素の二乗核に関するℓ¹有界性と同値であることを示している。主な貢献は、特に$ olimits\ell^2(\ell^4)$のような、型2をもち、UMD性を満たすが幾何学的に良好な性質を有するバナッハラティスにおいてもR有界性が成立しないことを示す反例の構成である。

ABSTRACT

The $R$-boundedness of certain families of vector-valued stochastic convolution operators with scalar-valued square integrable kernels is the key ingredient in the recent proof of stochastic maximal $L^p$-regularity, $2

研究の動機と目的

• 一般のバナッハラティスにおけるスカラー値の平方可積分核をもつベクトル値確率的畳み込み作用素のR有界性を体系的に分析すること。
• 確率的畳み込み族のR有界性と、元の核の二乗に等しい核をもつ関連する確定的畳み込み作用素のℓ¹有界性との間の正確な同値性を確立すること。
• ℓ¹有界性とX値のハーディー＝リトルウッド maximal 関数の有界性との関係を調査すること。
• 型2をもつUMDバナッハラティスにおいて、特に$L^q$空間を超えて、確率的最大$L^p$正則性が成立するかどうかを同定すること。
• R有界性が型2をもつUMDバナッハラティスで失敗する可能性があることを示す反例を構成すること。

提案手法

• 著者らは、$\int_{\mathbb{R}_+} \sqrt{t} |k'(t)| \, dt \leq 1$ を満たす核$k$のクラス$\mathscr{S}$を導入し、これにより$k \in L^2(\mathbb{R}_+)$および$k^2 \in \widetilde{\mathscr{K}}$（重み付き意味での導関数が可積分な核のクラス）が保証される。
• 家族$\{S_k^H\}$の確率的畳み込み作用素がR有界であることは、関連する家族$\{T_{k^2}\}$の確定的畳み込み作用素が$\ell^1$有界であることと同値であることを確立した。
• 分析により、$T_{k^2}$のℓ¹有界性は、特に$X$の2-凹化の双対のハーディー＝リトルウッド性と関連づけられた。
• 双対空間上での$\ell^\infty$有界性への還元を、双対性の議論により行い、$L^p(\mathbb{R}_+; X^2)$上での$\ell^1$有界性が、$L^p(\mathbb{R}_+; (X^2)^*)$上での$\ell^\infty$有界性と同値であることに着目した。
• 反例は$X = \ell^2(\ell^4)$を用いて構成され、その2-凹化は$\ell^1(\ell^2)$、双対は$\ell^\infty(\ell^2)$であり、これがハーディー＝リトルウッド性を満たさないことが示された。
• 関数$\ell^\infty(\ell^2)$上でのハーディー＝リトルウッド性の失敗は、$L^2(\mathbb{R}; \ell^\infty(\ell^2))$に属する関数を構成することで証明され、その maximal 関数のノルムが$N \to \infty$のとき$\sqrt{N}/4$のオーダーで無限大に発散することが示された。このことから、ℓ¹有界性が失敗することが導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のバナッハラティスにおいて、スカラー値核をもつ確率的畳み込み作用素のR有界性は、元の核の二乗に等しい核をもつ関連する確定的畳み込み作用素のℓ¹有界性と同値であるか？
• RQ2 バナッハラティス$X$の2-凹化の双対のハーディー＝リトルウッド性が、$X$上での確率的畳み込み作用素のR有界性を保証するか？
• RQ3 型2をもつUMDバナッハラティスにおいて、$L^q$空間を超えて、確率的最大$L^p$正則性が成立するか？
• RQ4 $\ell^\infty(\ell^2)$におけるハーディー＝リトルウッド性の失敗は、$\ell^2(\ell^4)$が確率的畳み込みのR有界性に反する反例であることを示唆するか？
• RQ5 型2をもち、UMD性を満たすがR有界性が成立しないバナッハラティスが存在するか？

主な発見

• 確率的畳み込み作用素の家族$\{S_k^H\}$が、$2 < p < \infty$に対して$L^p(\mathbb{R}_+ \times \Omega; X)$上でR有界であることは、関連する確定的畳み込み作用素の家族$\{T_{k^2}\}$が、$L^{p/2}(\mathbb{R}_+; X^2)$上でℓ¹有界であることと同値である。
• 型2をもち、$X^2$の双対がハーディー＝リトルウッド性をもつバナッハラティス$X$に対して、家族$\{S_k^H\}$はR有界である。これは$L^q$空間に関する既存の結果を一般化する。
• $\ell^\infty(\ell^2)$はハーディー＝リトルウッド性を満たさない。これは、$L^2(\mathbb{R}; \ell^\infty(\ell^2))$に属する関数を構成することで示され、その maximal 関数のノルムが$N \to \infty$のとき$\sqrt{N}/4$のオーダーで発散することが示された。
• $k^2 \in \widetilde{\mathscr{K}}$を満たす家族$\{T_k\}$は、任意の$1 < p < \infty$に対して、$L^p(\mathbb{R}_+; \ell^1(\ell^2))$上でℓ¹有界でない。このことから、ℓ¹有界性が失敗することが導かれる。
• したがって、家族$\{S_k^H\}$は、任意の$2 < p < \infty$に対して、$L^p_{\mathscr{F}}(\mathbb{R}_+ \times \Omega; \gamma(H, \ell^2(\ell^4)))$から$L^p(\mathbb{R}_+ \times \Omega; \ell^2(\ell^4))$へのR有界性をもたない。これは、型2をもち、UMD性をもつが、幾何学的に良好な性質をもつバナッハラティスにおける反例を提供する。
• この反例により、型2をもち、UMD性をもつバナッハラティスにおいても、一般に確率的最大$L^p$正則性が成立しないことが示された。