[論文レビュー] On the radius constants for classes of analytic functions

Rosihan M. Ali, Naveen Kumar Jain+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2012

Analytic and geometric function theory参考文献 29被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、単位円板上の解析関数のいくつかのクラスについて、正の順序の星型性、放物線的星型性、ベルヌーイの曲末星型性、および一様凸性の鋭鋭半径定数を決定する。劣微分と実部の推定を用いて、これらの半径の明示的公式が導かれる。主な結果として、$\Sigma(\alpha)$ の鋭鋭 $\Sigma$-半径と、$g$ が危単であり $|f'(z)/g'(z) - 1| < 1$ を満たす関数のクラスに対する $R_{\mathcal{UCV}} = 5 - 2\sqrt{6}$ が得られる。

ABSTRACT

Radius constants for several classes of analytic functions on the unit disk are obtained. These include the radius of starlikeness of a positive order, radius of parabolic starlikeness, radius of Bernoulli lemniscate starlikeness, and radius of uniform convexity. In the main, the radius constants obtained are sharp. Conjectures on the non-sharp constants are given.

研究の動機と目的

• 単位円板内の解析関数について、正の順序の星型性の半径を決定すること。
• 特定の関数クラスについて、放物線的星型性およびベルヌーイの曲末星型性の半径を計算すること。
• 星型または凸関数との比条件を満たすクラスについて、一様凸性の半径を確立すること。
• 極値関数と劣微分技術を用いて、これらの半径の鋭鋭境界を提供すること。
• 星型または凸関数との劣微分を用いて定義される新しい部分クラスを考察することで、既存の半径定数の結果を拡張すること。

提案手法

• 著者たちは、単位円板内での $f$ および $g$ の挙動を制限するために、劣微分理論と解析関数の実部の推定を用いる。
• 一般化された三角不等式と $|1 + zf''(z)/f'(z) - (1 + r^2)/(1 - r^2)|$ の境界を用いて、半径推定を導出する。
• $\operatorname{Re}(1 + zf''(z)/f'(z)) \geq (1 - 5r)/(1 - r^2)$ などの重要な不等式が $\mathcal{C}(\alpha)$-半径を決定するために用いられる。
• 半径境界の鋭鋭性を検証するために、極値関数 $f_0$ および $g_0$ が構成される。
• 円形領域が放物線領域に含まれることに関する補題が適用され、$\mathcal{UCV}$-半径が導かれる。
• 結果は、クラスに応じて $g$ が単価、星型、または凸であると仮定して導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $f$ が与えられたクラスに属するとき、$r > 0$ の最大値は何か？ そのとき $r^{-1}f(rz)$ は順序 $\alpha$ の星型性を満たすか？
• RQ2 どの $r$ に対して、$f$ による $\mathbb{D}_r$ の像が放物線領域に含まれるか？ これにより放物線的星型性が保証されるか？
• RQ3 どの $r$ が最大か？ そのとき $f$ は $\mathbb{D}_r$ を凸領域にマップするか？ これにより一様凸性が保証されるか？
• RQ4 比条件 $|f(z)/g(z) - 1| < 1$ や $|f'(z)/g'(z) - 1| < 1$ は、幾何的性質の半径にどのように影響を与えるか？
• RQ5 星型または凸関数との劣微分を用いて定義されるクラスについて、鋭鋭半径定数を導出できるか？

主な発見

• $g$ が単価で $|f'(z)/g'(z) - 1| < 1$ を満たす関数のクラスについて、$\mathcal{C}(\alpha)$-半径は $R_{\mathcal{C}(\alpha)} = \frac{2(1 - \alpha)}{5 + \sqrt{25 + 4\alpha(\alpha - 1)}}$ である。
• $g$ が単価である同じクラスについて、$\mathcal{UCV}$-半径は $R_{\mathcal{UCV}} = 5 - 2\sqrt{6} \approx 0.101021$ であり、この境界は鋭鋭である。
• $g$ が星型の場合、$\mathcal{C}(\alpha)$-半径は $R_{\mathcal{C}(\alpha)} = \frac{2(1 - \alpha)}{3 + \sqrt{9 + 4\alpha(\alpha - 1)}}$ であり、$R_{\mathcal{UCV}} = 3 - 2\sqrt{2} \approx 0.171573$ である。
• $g$ が凸の場合、$\mathcal{UCV}$-半径は $3 - 2\sqrt{2}$ であり、この結果は極値関数 $f_0(z) = \int_0^z \frac{1 + t}{(1 - t)^2} dt$ によって確認され、鋭鋭である。
• 放物線的星型性の半径は、像の円板が放物線領域 $\{w : |w - 1| < \operatorname{Re} w\}$ に含まれることを保証することで決定される。
• 証明において構成された極値関数 $f_0$ および $g_0$ は、実部の境界で等号を達成し、すべての導出された半径定数の鋭鋭性が確認される。