[論文レビュー] On the Randić index and conditional parameters of a graph

J.A. Rodrı́guez, José M. Sigarreta|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2013

Graph theory and applications参考文献 9被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、エッジ重みを頂点次数の幾何平均の逆数に比例させる新しい次数隣接行列を導入し、ランディック指数、条​​件付き超過、条件付きウィーナー指数、条件付き直径といったグラフパラメータを分析する。この行列の固有値を活用することで、これらのパラメータのタイトな上界が得られ、特に条件付き直径およびウィーナー指数が、最大固有値におけるk-交互多項式の挙動によって制限されることを示している。明示的な上界は、グラフのサイズおよび最小次数に依存する。

ABSTRACT

The aim of this paper is to study some parameters of simple graphs related with the degree of the vertices. So, our main tool is the $n imes n$ matrix ${\cal A}$ whose ($i,j$)-entry is $$ a_{ij}= \left\lbrace \begin{array}{ll} \frac{1}{\sqrt{δ_iδ_j}} & { m if }\quad v_i\sim v_j ; \\ 0 & { m otherwise,} \end{array} ight. $$ where $δ_i$ denotes the degree of the vertex $v_i$. We study the Randić index and some interesting particular cases of conditional excess, conditional Wiener index, and conditional diameter. In particular, using the matrix ${\cal A}$ or its eigenvalues, we obtain tight bounds on the studied parameters.

研究の動機と目的

• 頂点次数を用いた新しい行列ベースのアプローチを開発し、グラフパラメータを分析すること。
• 重み付き隣接行列のスペクトル的性質を用いて、ランディック指数および関連する条件付きパラメータ（超過、直径、ウィーナー指数）を研究すること。
• 固有値に基づく不等式を用いて、条件付き直径および条件付きウィーナー指数のタイトな上界を導出すること。
• 次数隣接行列が標準隣接行列よりも非同型グラフをよりよく区別できることを示すこと。
• 固有値における多項式評価と直径やウィーナー指数などの構造的グラフパラメータとの関係を確立すること。

提案手法

• 隣接する頂点 vi, vj に対して A の要素を 1/√(δiδj) と定義し、それ以外は 0 とする次数隣接行列 A を定義する。
• ベクトル ν = (√δ1, ..., √δn) が固有値 1 に対する固有ベクトルであることを証明し、スペクトル半径が 1 であることを保証する。
• Perron-Frobenius定理を用いて、1 が最大固有値であり、他のすべての固有値の絶対値が 1 以下であることを確立する。
• 次数隣接固有値のメッシュに関連する k-交互多項式 Pk を導入し、与えられた距離内の頂点数を境界づける。
• 不等式 Pk(1) > (2m)/β − 1 ⇒ D(β,β)(Γ) ≤ k を用いて、条件付き直径 D(β,β)(Γ) の境界を導出する。
• これらの境界を条件付きウィーナー指数 Wβ(Γ) に適用し、Pk²(1)、β、m を含む床関数の和として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数隣接行列を用いて、グラフのランディック指数をどのように境界づけられるか？
• RQ2 次数隣接行列の固有値と条件付き直径 D(β,β)(Γ) の関係は何か？
• RQ3 最大固有値における k-交互多項式の評価が、条件付き直径およびウィーナー指数のタイトな境界を提供できるか？
• RQ4 次数隣接行列は、標準隣接行列に比べて非同型グラフをどのように改善して区別できるか？
• RQ5 グラフのサイズ、最小次数、および固有値に基づく多項式を用いて、条件付きウィーナー指数 Wβ(Γ) の明示的な上界は何か？

主な発見

• 条件付き直径 D(β,β)(Γ) は、Pk(1) > (2m)/β − 1 を満たす限り k で上界づけられる。ここで Pk は次数隣接固有値の k-交互多項式である。
• 標準直径 D(Γ) は、Pk(1) > (2m)/δ − 1 を満たす限り D(Γ) ≤ k である。δ は最小次数を表す。
• 正則グラフの場合、Pk(1) > n − 1 ならば D(Γ) ≤ k が成り立ち、Fiol らの標準隣接行列を用いた結果のスペクトル的類似物が得られる。
• 条件付きウィーナー指数 Wβ(Γ) は、(x/2) × Σ⌊2m(2m−β)/(β(βPk²(1) + 2m−β))⌋ (k=0 から D(β,β)(Γ)−1 まで) で上界づけられる。ここで x は次数 ≥ β の頂点数を表す。
• 正則の場合、標準ウィーナー指数 W(Γ) は、Pk(1) > n−1 の条件下で (n/2) × Σ⌊n(n−1)/(Pl²(1) + n−1)⌋ (l=0 から k−1 まで) で上界づけられる。
• 次数隣接行列は、標準隣接行列では同型に見える非同型グラフを区別できることを示しており、同型に見えるグラフが標準固有値では同一だが、次数隣接固有値では異なることを示している。