[論文レビュー] On the randomised query complexity of composition

Dmitry Gavinsky, Troy Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、合成された関係のランダム化クエリ複雑度に対してタイトな下界を確立し、任意の関係 $f$ およびプロミス関数 $g$ に対して、$f \circ g^n$ の複雑度が $\Omega(\mathcal{R}(f) \cdot \sqrt{\mathcal{R}(g)})$ 以上であることを示している。著者らは、極性化されたプロトコルツリーを用いた新しいシミュレーションによる証明を行い、一致する上界例を構築することで、この下界が定数因子の範囲で最適であることを示している。

ABSTRACT

Let $f\subseteq\{0,1\}^n imesΞ$ be a relation and $g:\{0,1\}^m o\{0,1,*\}$ be a promise function. This work investigates the randomised query complexity of the relation $f\circ g^n\subseteq\{0,1\}^{m\cdot n} imesΞ$, which can be viewed as one of the most general cases of composition in the query model (letting $g$ be a relation seems to result in a rather unnatural definition of $f\circ g^n$). We show that for every such $f$ and $g$, $$\mathcal R(f\circ g^n) \in Ω(\mathcal R(f)\cdot\sqrt{\mathcal R(g)}),$$ where $\mathcal R$ denotes the randomised query complexity. On the other hand, we demonstrate a relation $f_0$ and a promise function $g_0$, such that $\mathcal R(f_0)\inΘ(\sqrt n)$, $\mathcal R(g_0)\inΘ(n)$ and $\mathcal R(f_0\circ g_0^n)\inΘ(n)$ $-$ that is, our composition statement is tight. To the best of our knowledge, there was no known composition theorem for the randomised query complexity of relations or promise functions (and for the special case of total functions our lower bound gives multiplicative improvement of $\sqrt{\log n}$).

研究の動機と目的

• 外側の問題 $f$ が関係である場合、内側の問題 $g$ がプロミス関数である合成された関係のランダム化クエリ複雑度に対する一般の下界を確立すること。
• 関係やプロミス関数のケースにおいて、ランダム化クエリ複雑度の合成定理が未だ知られていないという問題を解決すること。
• 全関数に対する先行研究を改善し、$\sqrt{\mathcal{R}(g)/\log \mathcal{R}(g)}$ の代わりに $\sqrt{\mathcal{R}(g)}$ の乗法的要因を達成すること。
• 具体的な例を用いて、下界が最適であることを示すこと。ここで $\mathcal{R}(f_0) = \Theta(\sqrt{n})$、$\mathcal{R}(g_0) = \Theta(n)$、$\mathcal{R}(f_0 \circ g_0^n) = \Theta(n)$ である。

提案手法

• 著者らは、与えられた $f \circ g^n$ のプロトコルから $f$ の新しいプロトコルを構築する、シミュレーションに基づく証明技法を用いる。
• クエリプロトコルを表現するための「極性化されたプロトコルツリー」を導入し、$g$ の入力に関する条件付き分布を分析する。
• 新しいプロトコルツリーのノードにアクションを割り当て、元のプロトコルが $g$ の出力の分布に関して示す挙動を模倣する。
• 元のプロトコルツリーの各内部ノードに対して、新しいツリーにも対応するノードを生成し、そのノードまでの経路が与えられたもとで $g(x_i) = 1$ となる確率を保つようにアクションを選択する。
• 元のプロトコルが高確率で $f \circ g^n$ を正しく計算するならば、シミュレートされたプロトコルも同じ成功確率で $f$ を正しく計算することを保証する。
• 確率が等しい退化したケースに対しては $Z$-ミキサーを用い、それ以外の場合は $Z$-ノードを用いて、望ましい条件付き確率と整合性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関係 $f$ とプロミス関数 $g$ の場合、$f \circ g^n$ のランダム化クエリ複雑度の最適な下界は何か？
• RQ2 ランダム化クエリ複雑度の合成定理は、全関数を超えて関係やプロミス関数を含むように拡張可能か？
• RQ3 下界 $\Omega(\mathcal{R}(f) \cdot \sqrt{\mathcal{R}(g)})$ は、合成問題においてタイトか？
• RQ4 全関数に対して、$\log \mathcal{R}(g)$ 要因のペナルティが含まれていた先行研究を改善し、$\sqrt{\mathcal{R}(g)}$ 要因を達成したか？
• RQ5 下界が漸近的にタイトになる具体的な例を構築できるか？

主な発見

• この論文は、任意の関係 $f$ およびプロミス関数 $g$ に対して、$\mathcal{R}(f \circ g^n) \in \Omega(\mathcal{R}(f) \cdot \sqrt{\mathcal{R}(g)})$ という一般の下界を確立し、この設定における初めての合成定理である。
• 著者らは、$\mathcal{R}(f_0) = \Theta(\sqrt{n})$、$\mathcal{R}(g_0) = \Theta(n)$、$\mathcal{R}(f_0 \circ g_0^n) = \Theta(n)$ を満たす一致する例を構築し、下界が定数因子の範囲で最適であることを証明した。
• 全関数に対する先行研究を改善し、分母に $\log \mathcal{R}(g)$ 要因が含まれるのを排除し、代わりに $\sqrt{\mathcal{R}(g)}$ の乗法的要因を達成した。
• シミュレーション手法は正しさとクエリ複雑度を保ち、$f \circ g^n$ の任意のプロトコルが、定数因子以内に大きなクエリ複雑度で $f$ のプロトコルに変換可能であることを示している。
• この構成は極性化されたプロトコルツリーに依存し、$g$ の出力に関する条件付き確率の正確な取り扱い、特に $Z$-ミキサーによる退化したケースの処理を含む。
• この結果は、$\mathcal{R}(f \circ g^n) \in \Omega(\mathcal{R}(f) \cdot \sqrt{\mathcal{R}(g)})$ が最適であり、漸近的に改善できないことを示している。