[論文レビュー] On the range of random walk on graphs satisfying a uniform condition

Kazuki Okamura|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有効抵抗の収束に関する一様条件 $(U)$ を満たす無限重み付きグラフ上で、単純なランダムウォークの範囲 $ R_n $ について弱大数法則を確立する。$ R_n/n $ が確率的に $ 1 - F_2 $ と $ 1 - F_1 $ の間へ集中することを示し、平均 $ \mathbb{E}[R_n]/n $ が $ 1 - F_2 $ と $ 1 - F_1 $ の間を振動するグラフを構成することで、これらの境界が鋭いことを証明する。

ABSTRACT

We consider the range of random walks up to time n, R_n, on graphs satisfying a uniform condition. This condition is characterized by potential theory. Not only all vertex transitive graphs but also many non-regular graphs satisfy the condition. We show certain weak laws of R_n from above and below. We also show that there is a graph such that it satisfies the condition and a sequence of the mean of R_n/n fluctuates. By noting the construction of the graph, we see that under the condition, the weak laws are best in a sense.

研究の動機と目的

• 空間的均一性に欠ける、例えば非正則または非頂点推移的グラフのようなグラフ上で、単純ランダムウォークの範囲 $ R_n $ について弱大数法則を確立すること。
• 特に $ \mathbb{Z}^d $ のような正則グラフを超えて、非正則および非推移的グラフへの範囲に関する結果を拡張すること。
• 弱法則の境界の鋭さを検証するため、$ \mathbb{E}[R_n]/n $ が $ 1 - F_2 $ と $ 1 - F_1 $ の間を振動するグラフを構成し、境界を改善できないことを示すこと。
• 有効抵抗を用いたポテンシャル論を用いて、一様条件 $(U)$ を特徴付け、それが粗等長写像に関して安定であることを示すこと。
• 再帰性／非再帰性および帰還確率が $ R_n $ の漸近的挙動に果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 有効抵抗 $ \rho(x,n) \to \rho(x) $ の $ n \to \infty $ における一様収束を用いて、一様条件 $(U)$ を定義する。ポテンシャル論的道具を用いる。
• Kumagai [9] の関係式 $ \rho(x,n)^{-1} = \mu_x P_x(T_x^+ > T_{B(x,n)^c}) $ を用い、帰還確率と抵抗を関連付ける。
• 抵抗推定を用いて、$ x $ に関して一様に成り立つ $ P_x(R_n \geq n(1 - F_1 + \epsilon)) \to 0 $ および $ P_x(R_n \leq n(1 - F_2 - \epsilon)) \to 0 $ の境界を得ることで、弱法則を確立する。
• $ F_1 < F_2 $ かつ $ \liminf \mathbb{E}[R_n]/n = 1 - F_2 $、$ \limsup \mathbb{E}[R_n]/n = 1 - F_1 $ を満たすグラフを、次数が変化する木構造を用いて構成する。
• エネルギー比較と既知の抵抗および遷移確率の減衰に関する結果を用いて、$(U)$ の粗等長写像に関する安定性を証明する。
• Sierpiński ガスケット、Vicsek 樹木、$ \mathbb{Z}^d $ に対する既知の結果を応用し、適切な条件下でこれらが $(U)$ を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的均一性に欠ける（例えば非正則または非頂点推移的）グラフ上でも、範囲 $ R_n $ について弱大数法則を確立できるか？
• RQ2 一様条件 $(U)$ の下で、$ R_n/n $ の確率的範囲は何か？この範囲を改善できるか？
• RQ3 $(U)$ を満たすが $ \mathbb{E}[R_n]/n $ が収束しないグラフは存在するか？その場合、弱法則の境界の鋭さに何を示唆するか？
• RQ4 一様条件 $(U)$ は、有効抵抗や帰還確率といったポテンシャル論的量とどのように関係するか？
• RQ5 $(U)$ および $ UC_{\alpha} $ は粗等長写像に関して安定か？どのようなグラフのクラスが $(U)$ を満たすか？

主な発見

• 任意の $(U)$ を満たすグラフについて、$ x $ に関して一様に $ \lim_{n\to\infty} P_x(R_n \geq n(1 - F_1 + \epsilon)) = 0 $ および $ \lim_{n\to\infty} P_x(R_n \leq n(1 - F_2 - \epsilon)) = 0 $ が成り立ち、上界では指数的減衰を示す。
• 境界 $ 1 - F_2 $ と $ 1 - F_1 $ は鋭い：$ \liminf_{n\to\infty} \mathbb{E}[R_n]/n = 1 - F_2 $ かつ $ \limsup_{n\to\infty} \mathbb{E}[R_n]/n = 1 - F_1 $ を満たす $(U)$ を満たすグラフが存在し、弱法則を改善できないことを示す。
• 一様条件 $(U)$ はすべての頂点推移的グラフ、$ \mathbb{Z}^d $、Sierpiński ガスケットおよびカーペット、Vicsek 樹木、およびそれらと粗等長写像を保つグラフで成立する。
• 条件 $(U)$ は粗等長写像に関して安定である：$ X $ が $(U)$ を満たすならば、$ X $ と粗等長写像を保つ任意のグラフも $(U)$ を満たす。
• $ \alpha > 2 $ に対して $ UC_{\alpha} $ を満たすグラフ（例えば $ \mathbb{Z}^d $、$ d \geq 3 $）は $(U)$ を満たし、また $ \sum_k p_k(x,x) \to \infty $ を満たす再帰的グラフも同様に $(U)$ を満たす。
• 非再帰的 $ 4 $-正則木から構成した再帰的木は $(U)$ を満たさないことが示され、条件 $(U)$ は非自明であり、再帰性だけでは保証されないことが分かる。