[論文レビュー] On the Rasmussen-Tamagawa conjecture for QM-abelian surfaces

Keisuke Arai|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、虚二次体より高い次数の数体上におけるQM-アーベル多様体のRasmussen-Tamagawa予想を証明し、以前の虚二次体上での結果を一般化する。局所的・大域的原理と類体論を用いて、特定のガロア的理論的およびクaternion代数的条件下で、有界な分岐を持つQM-アーベル多様体の同型類の有限性を確立する。

ABSTRACT

In the previous article, we showed the Rasmussen-Tamagawa conjecture for QM-abelian surfaces over imaginary quadratic fields. In this article, we generalize the previous work to QM-abelian surfaces over number fields of higher degree. We also give several explicit examples.

研究の動機と目的

• 2次より大きな数体上での、有界な分岐を持つアーベル多様体の有限性に関するRasmussen-Tamagawa予想の拡張。
• 虚二次体のヒルベルト類体を含まない、Qのガロア拡大上でのQM-アーベル多様体の同型類の有限性の確立。
• 二次拡大上のクォータニオン代数の非同型性と素因数の分裂に関する明示的基準の提供。
• 適切な素数の存在と関連する二次形式の局所的可解性を保証する条件下で、予想の検証。

提案手法

• p-冪 torsion点のガロア表現を制御するため、pを除くすべての素点で不分岐な最大のpro-p拡大の利用。
• ハッセの原理を用いて、二次形式の大域的可解性を、すべての場所での局所的可解性に還元。
• 類体論とガロア降下を用いて、K(μ_p)上でのK(A[p^∞])の拡大の構造を分析。
• 数体における与えられた素数の上にある素点の分岐指数、残差次数、および素点の個数の計算による明示的例の構成。
• ヘンゼルの補題とp進解析を用いて、QM-アーベル多様体のモジュライ空間を定義する方程式の局所的可解性を同定。
• 二次拡大における素数の分裂挙動を用いて、B⊗Q(√−q)とM2(Q(√−q))の非同型性の検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体Kに対して、有界な分岐を持つQM-アーベル多様体のK-同型類の集合が有限となる条件は何か？
• RQ2 Galois拡大K/Q（次数>2）上でのQM-アーベル多様体に対して、Rasmussen-Tamagawa予想は成立するか？
• RQ3 Kが任意の虚二次体のヒルベルト類体を含まず、かつ適切な素数qがKで完全に分裂する場合、有限性結果は確立可能か？
• RQ4 クォータニオン代数BがQ(√−q)上で非分裂するという性質が、モジュライ空間の有限性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 QM-アーベル多様体の定義方程式の局所的可解性は、どのようにして大域的有限性を導くのか？

主な発見

• Kが任意の虚二次体のヒルベルト類体を含まず、かつB⊗Q(√−q) ≇ M2(Q(√−q) を満たす素数qがKで完全に分裂するようなものが存在するとき、QのGalois拡大K上のQM-アーベル多様体のK-同型類の集合𝒜(K,2)_Bは有限である。
• K = Q(√3,√−5), Q(ζ5), Q(ζ17) および d ∈ {6,10,22} に対して、(d,K) ≠ (22, Q(ζ5) のとき、集合M^B(K)は無限大であり、したがってQM-アーベル多様体のK-同型類が無限個存在することを意味する。
• (d,K) ≠ (22, Q(ζ5)) のとき、クォータニオン代数B⊗Q K はM2(K)に同型であり、これによりモジュライ空間がKに有理点を持つことが保証される。
• K = Q(√3,√−5) は、任意の虚二次体のヒルベルト類体ではない。その部分体Q(√−5)とQ(√−15)は類数>1であり、3および2の上での分岐が生じるため。
• K = Q(ζ5) および K = Q(ζ17) の唯一の二次部分体は、それぞれQ(√5)とQ(√17)であり、両方とも類数1ではないため、Kは任意のヒルベルト類体を含まない。
• Kで完全に分裂する素数qが存在し、B⊗Q(√−q) ≇ M2(Q(√−q)) であると、関連するガロア表現が必要なフィルトレーション条件を満たし、主有限性定理の適用が可能になる。