[論文レビュー] On the rate of convergence for $(\log_b n)$

Chuang Xu|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、整数の底 $b \geq 2$ に対する $(\log_b n)$ の単位円上のモジュロ1の収束速度を分析し、それが単位円上でのシフト付き指数分布の混合分布に収束することを示している。Kantorovich距離 $d_{\mathbb{T}}$（円周上）と $d_{\mathbb{R}}$（実数直線上）を用いて、$d_{\mathbb{T}}$ における収束の上界を確立し、$d_{\mathbb{R}}$ における鋭い収束速度を示した。その結果、円周上での収束は実数直線上の収束よりも著しく速いことが明らかになった。

ABSTRACT

In this paper, we study rate of convergence for the distribution of sequence of logarithms $(\log_bn)$ for integer base $b\ge2.$ It is well-known that the slowly growing sequence $(\log_bn)$ is not uniformly distributed modulo one. Its distributions converge to a loop of translated exponential distributions with constant $\log b$ in the space of probabilities on the circle. We give an upper bound for the rate of convergence under Kantorovich distance $d_{\mathbb{T}}$ on the circle. We also give a sharp rate of convergence under Kantorovich distance $d_{\mathbb{R}}$ on the line $\mathbb{R}.$ It turns out that the convergence under $d_{\mathbb{T}}$ is much faster than that under $d_{\mathbb{R}}.$

研究の動機と目的

• 整数の底 $b \geq 2$ に対する $(\log_b n)$ のモジュロ1の収束速度を分析すること。
• $(\log_b n)$ がゆっくりとした増加を示すにもかかわらず、モジュロ1で一様分布でない理由を理解すること。
• シフト量 $\log b$ を持つシフト付き指数分布の混合からなる極限分布への収束を定量的に特定すること。
• 二つの異なる距離、$d_{\mathbb{T}}$（円周上）と $d_{\mathbb{R}}$（実数直線上）における収束速度を比較すること。
• それぞれの距離における収束速度の上界および鋭い境界を確立すること。

提案手法

• 本稿は、円周 $\mathbb{T} = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 上の Kantorovich 距離 $d_{\mathbb{T}}$ を用いて、$(\log_b n)$ のモジュロ1における分布の収束を測定する。
• 指数分布およびそのシフトの性質を活用して、$d_{\mathbb{T}}$ における収束速度の上界を導出する。
• 実数直線では、Kantorovich 距離 $d_{\mathbb{R}}$ における収束速度を鋭く確立し、列の不均一性の漸近的解析を用いる。
• 極限分布は、一定のシフト $\log b$ を持つシフト付き指数分布のループとして特徴づけられる。
• $d_{\mathbb{T}}$ と $d_{\mathbb{R}}$ の比較により、円周上での収束が実数直線上の収束よりも著しく速いことが明らかになった。
• 理論的道具としては、コンパクトおよび非コンパクト空間上の確率測度の距離的性質、および対数列の漸近的分布理論が用いられた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(\log_b n)$ のモジュロ1における極限分布への収束速度は、単位円上でどの程度か？
• RQ2 $(\log_b n)$ はゆっくりとした増加を示すにもかかわらず、なぜモジュロ1で一様分布でないのか？
• RQ3 $d_{\mathbb{T}}$ と $d_{\mathbb{R}}$ における収束速度を比較すると、その速度差の背後にある理由は何か？
• RQ4 $(\log_b n)$ がモジュロ1で収束する極限分布の正確な形は何か？
• RQ5 実数直線上の Kantorovich 距離における収束速度に対して鋭い境界を確立できるか？

主な発見

• 円周上での Kantorovich 距離 $d_{\mathbb{T}}$ における収束速度には上界が存在し、極限分布への到達が制御可能で定量的であることが示された。
• $(\log_b n)$ のモジュロ1における極限分布は、シフト量 $\log b$ を持つシフト付き指数分布の混合である。
• 実数直線上での Kantorovich 距離 $d_{\mathbb{R}}$ における収束速度は鋭く、収束速度の漸近的上限が明確に特定された。
• $d_{\mathbb{T}}$ における収束は、$d_{\mathbb{R}}$ における収束よりも著しく速く、トポロジー的構造が収束速度に与える影響が顕著に現れた。
• 結果から、トーラス $\mathbb{T}$ の円形構造が、この列に対して実数直線 $\mathbb{R}$ よりもより好都合な収束行動をもたらすことが示された。
• 本稿は、この対数列に対して、二つの異なる距離における収束速度の定量的比較を初めて行った。