[論文レビュー] On the rate of convergence in Wasserstein distance of the empirical measure

Nicolas Fournier, Arnaud Guillin|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2013

Point processes and geometric inequalities参考文献 43被引用数 930

ひとこと要約

本稿は、$p>0$ に対する Wasserstein 距離における真の分布への経験的測度の収束速度について、非漸近的 $L^p$-モーメント評価および集中不等式を確立する。次元 $d$、分布のモーメント条件、および依存する系列や粒子系への拡張を含め、最小限のモーメント仮定のもとで最適なレートを示す。

ABSTRACT

Let $\\mu_N$ be the empirical measure associated to a $N$-sample of a given probability distribution $\\mu$ on $\\mathbb{R}^d$. We are interested in the rate of convergence of $\\mu_N$ to $\\mu$, when measured in the Wasserstein distance of order $p>0$. We provide some satisfying non-asymptotic $L^p$-bounds and concentration inequalities, for any values of $p>0$ and $d\\geq 1$. We extend also the non asymptotic $L^p$-bounds to stationary $\ ho$-mixing sequences, Markov chains, and to some interacting particle systems.

研究の動機と目的

• 真の測度 $\mu$ への経験的測度 $\mu_N$ の Wasserstein 距離 $\mathcal{W}_p$ における収束速度を定量化すること。
• すべての $N \geq 1$ に対して有効な、非漸近的 $L^p$-モーメント評価および集中不等式を導出すること。
• i.i.d. サンプルを超えて $\rho$-混合系列、マルコフ連鎖、McKean-Vlasov 粒子系へ結果を拡張すること。
• 次元 $d$、$\mu$ におけるモーメント条件、および $\mathcal{W}_p$ における収束速度の間の相互作用を特定すること。

提案手法

• モーメント条件 $M_q(\mu) < \infty$（$q > p$）および指数的モーメント $\mathcal{E}_{\alpha,\gamma}(\mu)$ を用いて Wasserstein 距離を制御する。
• Dereich, Scheutzow, and Schottstedt (2013) の手法を応用し、$\mathbb{E}[\mathcal{T}_p(\mu_N, \mu)]$ の鋭い評価を得る。
• 共分散の減少推定および Hölder 不等式を用いて、マルコフ連鎖や $\rho$-混合系列などの依存過程を扱う。
• 二分木分割および被覆論法を用い、小さな集合における経験的測度の $L^p$-ノルムを通じて Wasserstein 距離を制御する。
• 粒子系の混沌の伝搬フレームワークを用い、粒子系の経験的測度と非線形 SDE 解との比較を行う。
• モーメント評価と既知の粒子系の $L^2$-収束速度を組み合わせ、$\mathcal{W}_2$ における全体の収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p>0$ に対して、経験的測度 $\mu_N$ が $\mathcal{W}_p$ で真の分布 $\mu$ に収束する非漸近的レートは何か？
• RQ2 収束速度は次元 $d$、モーメントの次数 $p$、および $\mu$ の尾部挙動にどのように依存するか？
• RQ3 $L^p$-モーメント評価を $\rho$-混合系列やマルコフ連鎖などの依存過程へ拡張可能か？
• RQ4 McKean-Vlasov SDE を近似する粒子系の $\mathcal{W}_2$ における収束速度は何か？
• RQ5 特定のケース（離散的または一様分布）における既知の下界と比較して、評価はどのようになるか？

主な発見

• $p > d/2$ の場合、$M_q(\mu) < \infty$（$q > p$）のもとで、レートは $O(N^{-1/2} + N^{-(q-p)/q})$ であり、$p = d/2$ の場合に対応する対数補正が付く。
• $p < d/2$ の場合、レートは $O(N^{-p/d} + N^{-(q-p)/q})$ であり、一様分布 $[-1,1]^d$ に対して既知の下界 $\Omega(N^{-p/d})$ と一致する。
• $p = d/2 = 1$ の場合、レートは $O(N^{-1/2}\log(1+N))$ であり、一様分布に対して Aji-tai-Komlós-Tusnády の結果と整合的である。
• $\rho$-混合系列および定常マルコフ連鎖の場合、初期分布の $L^r$-可積分性および幾何的定常性のもとで、レートは $O(N^{-1/2})$ のまま維持される。
• McKean-Vlasov 粒子系の場合、$\mathcal{W}_2$ における全体のレートは $O(\alpha(N) + \beta(N))$ であり、$\alpha(N) = N^{-1}$（log-Sobolev 情報の場合）または $N^{-1/(α-1)}$（多項式ポテンシャルの場合）、$\beta(N)$ は $d$ に依存する i.i.d. レートである。
• 評価は鋭い：任意の原子が分離された測度に対して $N^{-1/2}$ の下界が存在し、一様分布に対しては $N^{-p/d}$ が下界となる。これにより、導出されたレートの最適性が確認される。