[論文レビュー] On the Rational Real Jacobian Conjecture

L. Andrew Campbell|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2012

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、至る所で定義された有理写像に拡張された有理実ヤコビアン予想（RRJC）を検討する。双有理的かつガロア拡大の場合、可逆性は体拡大の奇数次と自明な自己同型群に同値であり、SRJCの2つの既知の特殊ケースを有理写像の枠組みに一般化し、非自明なファイバーの集合の余次元 >2 であるか、像と交差しない場合に可逆性が成り立つことを示す。

ABSTRACT

Jacobian conjectures (that nonsingular implies a global inverse) for rational everywhere defined maps of real n-space to itself are considered, with no requirement for a constant Jacobian determinant or a rational inverse. The birational case is proved and the Galois case clarified. Two known special cases of the Strong Real Jacobian Conjecture (SRJC) are generalized to the rational map context. For an invertible map, the associated extension of rational function fields must be of odd degree and must have no nontrivial automorphisms. That disqualifies the Pinchuk counter examples to the SRJC as candidates for invertibility.

研究の動機と目的

• ℝⁿ 上で至る所で定義された有理写像への強い実ヤコビアン予想（SRJC）の拡張を図ること。
• 特に体拡大の性質に注目して、このような有理写像がいつ可逆になるかの条件を明確化すること。
• SRJCの2つの既知の特殊ケース（ファイバー集合の余次元 >2 および像からの分離）を有理写像の枠組みに一般化すること。
• PinchukによるSRJCの反例が、RRJCにおける可逆性のための必要条件を満たさないことを示すこと。
• 可逆な有理写像に対して、関連する有理関数体拡大が奇数次であり、自明な自己同型群を持つべきであることを確立すること。

提案手法

• 有理写像 F:ℝⁿ→ℝⁿ に付随する体拡大 ℝ(X)/ℝ(F) の代数的構造を分析する。
• 体拡大の次数と F の幾何学的次数を用いて、ファイバーのサイズと拡大の偶奇性を関連付ける。
• 被覆空間論と P.A. Smith 理論を用いた位相的アプローチにより、非自明な基本群を持つ ℝⁿ 上の有限被覆写像は、次数が 1 でない限り矛盾を引き起こすことを示す。
• ℝⁿ が単連結であり、普遍被覆であることに着目し、有限ファイバーを持つ正規写像が被覆次数が 1 であれば単射であることを導く。
• 特に半代数的集合と A(F)（非自明なファイバーの集合）の次元の上限に関する代数幾何および実代数幾何の結果を応用する。
• 有理写像がヤコビアン行列がどこでも 0 でない場合、局所微分同相となるという性質を活用し、これをグローバルな単射性基準と組み合わせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヤコビアン行列式がどこでも 0 でない有理写像 F:ℝⁿ→ℝⁿ が、どのような条件下で可逆になるか？
• RQ2 体拡大 ℝ(X)/ℝ(F) の次数と拡大の自己同型群は、F の可逆性とどのように関係するか？
• RQ3 SRJC の2つの既知の特殊ケース（A(F) の余次元および像からの分離）を有理写像の文脈に一般化できるか？
• RQ4 なぜ Pinchuk の SRJC 反例は、RRJC における可逆性のための必要条件を満たさないのか？
• RQ5 有理写像の文脈において、双有理性、ガロア拡大、および可逆性の正確な関係は何か？

主な発見

• 有理的かつ特異点のない写像 F:ℝⁿ→ℝⁿ に対して、関連する体拡大 ℝ(X)/ℝ(F) が双有理的（次数 1）であれば、F は可逆であり、拡大の自己同型群は自明である。
• 体拡大 ℝ(X)/ℝ(F) がガロア的であれば、F が可逆であることと、双有理的であること（すなわち拡大次数が 1 で、自己同型群が自明であること）が同値である。
• F が局所自明なファイブレーションでない点の集合 A(F) が、余次元 >2 であるか、像 F(ℝⁿ) と交差しない場合にのみ F が可逆であり、この条件は、SRJC の2つの既知の特殊ケースを RRJC の文脈に一般化する。
• SRJC の Pinchuk 反例は、ファイバーのサイズが 2（偶数）であるため、必要条件の奇数ファイバーサイズを満たさず、RRJC における可逆性候補として除外される。
• 可逆な有理写像は、奇数次で自明な自己同型群を持つ体拡大を誘導しなければならず、この条件により既知のすべての SRJC の反例が除外される。
• 余次元 >2 および分離のケースにおける可逆性の証明は、被覆空間と Smith 理論を用いた位相的議論に依拠しており、有理性により被覆次数が有限となり、単射性が可逆性を導くため、有理写像への自然な拡張が可能である。