[論文レビュー] On the Rayleigh-Taylor instability for incompressible viscous magnetohydrodynamic equations

Fei Jiang, Song Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、可 compressible 粘性磁力学流体（MHD）流れにおける全域非線形レイノルズ・ターレー不安定性を、ラグランジュ座標系における変分法を用いて線形化問題に対する指数関数的に成長する解を構成することで、零抵抗率および自由界面を有する条件下で確立する。また、臨界不安定性閾値が正確に $ olimitsackslash sqrt extbackslash left extbackslash extbraceleft g[\varrho]/2\textbackslash rightrbrace$ であることを示し、粘性および界面張力が不安定性を抑制することを示している。

ABSTRACT

We study the Rayleigh-Taylor problem for two incompressible, immiscible, viscous magnetohydrodynamic (MHD) flows, with zero resistivity, surface tension (or without surface tenstion) and special initial magnetic field, evolving with a free interface in the presence of a uniform gravitational field. First, we reformulate in Lagrangian coordinates MHD equations in a infinite slab as one for the Navier-Stokes equations with a force term induced by the fluid flow map. Then we analyze the linearized problem around the steady state which describes a denser immiscible fluid lying above a light one with an free interface separating the two fluids, and both fluids being in (unstable) equilibrium. By a general method of studying a family of modified variational problems, we construct smooth (when restricted to each fluid domain) solutions to the linearized problem that grow exponentially fast in time in Sobolev spaces, thus leading to an global instability result for the linearized problem. Finally, using these pathological solutions, we demonstrate the global instability for the corresponding nonlinear problem in an appropriate sense. In addition, we compute that the so-called critical number indeed is equal $\sqrt{g[\varrho]/2}$.

研究の動機と目的

• 重力の下で、零抵抗率および自由界面を有する、非圧縮性で不混和な粘性 MHD 流体のレイノルズ・ターレー不安定性を解析すること。
• 密度の大きい流体が軽い流体の上にある不安定平衡状態を基準として、ラグランジュ座標系における線形化 MHD 問題に対して、ソボレフ空間内での指数関数的に成長する解を構成することで、全域不安定性を確立すること。
• 線形ケースから得られた病理的解を用いて、線形結果を完全非線形 MHD 問題へと拡張すること。
• 不安定性の正確な臨界数値を特定し、粘性および界面張力の影響を評価すること。
• 流体の流れ写像とラグランジュ座標系を用いて、自由界面問題を固定領域系に再定式化すること。

提案手法

• 流体の流れ写像を用いて、オイラー座標系における MHD 自由界面問題をラグランジュ座標系における固定領域問題に再定式化すること。
• 密度の大きい流体が軽い流体の上にある状態を基準として、安定でない平衡状態における MHD システムを線形化すること。
• 変更された変分問題の族を解くことにより、滑らかで指数関数的に成長する線形化問題の解を構成すること。
• 構成された線形解を用いて、ソボレフノルムにおける背理法を用いて、非線形問題の全域非線形不安定性を証明すること。
• 摂動パrameter $\varepsilon \to 0$ の極限において、近似解の極限を解析し、極限における弱形式を導出し、元の問題と整合していることを確認すること。
• エネルギー推定およびトレース理論を適用して、界面におけるジャンプ条件（速度連続性および応力バランス）を処理し、法線応力および速度連続性の収束を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非圧縮性粘性 MHD 流れ（零抵抗率）におけるレイノルズ・ターレー不安定性の発生臨界数値の正確な値は何か？
• RQ2 ラグランジュ座標系における線形化 MHD 問題に対して、指数関数的に成長する解を構成できるか。その結果、不安定性が示唆されるか？
• RQ3 線形不安定性は、界面張力の有無に関わらず、完全非線形 MHD システムに対して全域非線形不安定性を示唆するか？
• RQ4 粘性および界面張力は、MHD レイノルズ・ターレー問題における不安定モードの成長率および閾値にどのように影響を与えるか？
• RQ5 ラグランジュ座標系および流体の流れ写像を用いて、自由界面問題を効果的に固定領域問題に変換できるか？

主な発見

• MHD システムにおけるレイノルズ・ターレー不安定性の臨界数値は正確に $\sqrt{g[\varrho]/2}$ である。ここで $[\varrho]$ は密度差を表す。
• 変分法を用いて、線形化 MHD 問題に対する指数関数的に成長する解が構成され、ソボレフ空間内での全域線形不安定性が証明された。
• 非線形 MHD 問題が、病理的線形解に基づいて適切な意味で全域不安定であることが示された。
• 粘性および界面張力は安定化効果を示し、不安定モードの成長率を低下させることを示した。
• 近似プロセスの極限において、界面のジャンプ条件（速度連続性および応力バランス）が保持された。
• 近似解の極限は、非線形問題の弱形式を満たし、強い意味での不安定解の存在を確認した。