[論文レビュー] On the real zeroes of the Hurwitz zeta-function and Bernoulli polynomials

А. П. Веселов, John Ward|arXiv (Cornell University)|May 16, 2002

Functional Equations Stability Results被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、大きな負のσにおけるHurwitzゼータ関数ζ(σ,a)の実零点を調査し、0 < a < -σ/(2πe)の領域において、それらが漸近的にσ + 4a + 2m = 0の直線上に配置されることを示している。ζ(-p,a)の実零点の数は、N(p)/p → 1/(πe)として漸近的に増加することを確立し、Bernoulli多項式B_n(x)の実根の数の漸近的性質を示したInkeriの結果について、簡単な証明を提供している。これは、~2n/(πe)の漸近的数に一致する。

ABSTRACT

The behaviour of real zeroes of the Hurwitz zeta function $$ζ(s,a)=\sum_{r=0}^{\infty}(a+r)^{-s}\qquad\qquad a &gt; 0$$ is investigated. It is shown that $ζ(s,a)$ has no real zeroes $(s=σ,a)$ in the region $a &gt;\frac{-σ}{2πe}+\frac{1}{4πe}\log (-σ) +1$ for large negative $σ$. In the region $0 &lt; a &lt; \frac{-σ}{2πe}$ the zeroes are asymptotically located at the lines $σ+ 4a + 2m =0$ with integer $m$. If $N(p)$ is the number of real zeroes of $ζ(-p,a)$ with given $p$ then $$\lim_{p o\infty}\frac{N(p)}{p}=\frac{1}{πe}.$$ As a corollary we have a simple proof of Inkeri's result that the number of real roots of the classical Bernoulli polynomials $B_n(x)$ for large $n$ is asymptotically equal to $\frac{2n}{πe}$.

研究の動機と目的

• 大きな負の実数σにおけるHurwitzゼータ関数ζ(σ,a)の実零点の分布を調査すること。
• 標準的な区間0 < a ≤ 1を超えて、Hurwitzのζ(σ,a)のフーリエ表現の有効範囲を広げること。
• p → ∞のときのζ(-p,a)の実零点数に対する漸近的推定を導出すること。
• Bernoulli多項式B_n(x)の実根の数の漸近的性質に関するInkeriの結果に対する、新しい初等的証明を提供すること。

提案手法

• Re(s) < 0および0 < a ≤ 1の範囲でζ(s,a)のHurwitzの積分表現を用い、大規模な負のσに対して0 < a < -σ/(2πe)の範囲へその適用を拡張する。
• σ → -∞のとき、ζ(σ,a)/Q(σ) = sin(2πa + ½πσ) + o(1)という漸近展開を適用する。ここでQ(σ) = 2Γ(1−σ)/(2π)^{1−σ}である。
• 関数等式ζ(s,a) = ζ(s,n+a) + ∑_{r=0}^{n-1} (r+a)^{-s}を用いて、解析接続および零点分布を分析する。
• 微分恒等式∂/∂a ζ(s,a) = -s ζ(s+1,a)を用い、ζ(-p,a)のk階微分をζ(-p+k,a)と関連づけ、根の挙動の漸近的解析を可能にする。
• n階微分が定符号を保つ関数の根の数の最大値に関する補題を適用し、特定の区間における実零点数の上限を求める。
• 漸近的解析と有効範囲の境界を組み合わせ、ζ(σ,a)が非ゼロまたは振動的である領域における実零点数を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大きな負のσおよび0 < a < -σ/(2πe)のとき、ζ(σ,a)の実零点はどこに位置するか？
• RQ2 p → ∞のとき、ζ(-p,a)の実零点数の漸近的増加率は何か？
• RQ3 Bernoulli多項式B_n(x)の実根の漸近的分布は、Hurwitzゼータ関数を用いて再導出可能か？
• RQ4 大きな負のσに対して、ζ(σ,a)が実零点を持たない領域はどこか？
• RQ5 ζ(-p,a)の微分は漸近的にどのように振る舞い、根の分布にどのように影響するか？

主な発見

• 大きな負のσに対して、a > -σ/(2πe) + (1/(4πe)) log(-σ) + 1のとき、ζ(σ,a)は実零点を持たない。
• 0 < a < -σ/(2πe)の領域では、ζ(σ,a)の実零点は整数mに対して、漸近的に直線σ + 4a + 2m = 0上に位置する。
• ζ(-p,a)の実零点数N(p)は、lim_{p→∞} N(p)/p = 1/(πe)を満たす。
• Bernoulli多項式B_n(x)の実根数N(n)は、lim_{n→∞} N(n)/n = 2/(πe)を満たし、Inkeriの結果を確認する。
• 大きなmに対して、B_m(x)の最大実根A(m)はA(m)/m → 1/(2πe)を満たし、全実根数N(m)はN(m)/m → 2/(πe)を満たす。
• A(m)およびN(m)の上界・下界には対数補正項が含まれるが、これらは現在の初等的手法からは導出されていない。