[論文レビュー] On the reducibility of Schlesinger isomonodromic families

Renat Gontsov, V. P. Leksin|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2013

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、モノドロミー行列がすでにブロック上三角形形式にある場合に、定数ゲージ変換を用いてシュレスラー等モノドロミー族の可約性を満たす十分条件を確立する。上三角形解の成分に対するハイパージェオメトリック型の積分表現を、ねじれたホモロジーとジョルダン・ポハマー型接続を持つ Pfaffian 系を用いて導出する。

ABSTRACT

We obtain some sufficient conditions for reducibility of a Schlesinger isomonodromic family with the (block) upper-triangular monodromy to the same (block) upper-triangular form via a constant gauge transformation. We also obtain integral representations of hypergeometric type for entries of upper-triangular solutions of the Schlesinger equation.

研究の動機と目的

• ブロック上三角形モノドロミーを持つシュレスラー等モノドロミー族が、定数ゲージ変換によって同じブロック上三角形形式に還元可能となる十分条件を同定すること。
• シュレスラー方程式の上三角形解の成分に対するハイパージェオメトリック型の積分表現を確立すること。
• Fuchs系のパラメトリック可約性およびその等モノドロミー変形がモノドロミー構造とどのように関係するかを分析すること。
• 等モノドロミー族における残留行列の可約性とモノドロミー行列のブロック構造との関係を明らかにすること。
• 特異的サイクルを用いたホロモルフィックベクトル束とメルモルフィック接続を用いたシュレスラー方程式の解の構成フレームワークを提供すること。

提案手法

• Fuchs系の等モノドロミー変形を研究するために、ホロモルフィックベクトル束とメルモルフィック接続を用いる。
• 多価関数 $ F(t) = (t - a_1)^{\beta_1} \cdots (t - a_n)^{\beta_n} $ に関連する局所系の双対に係数をとったねじれたホモロジーを適用し、積分表現を可能にする。
• ジョルダン・ポハマー系を用いて、上三角形残留行列の非対角成分 $ u_i(a), v_i(a) $ の進化を Pfaffian 系と行列1形式 $ \Omega^u, \Omega^v $ で記述する。
• 上三角成分 $ b_i(a) $ の非同次系を $ db = \Omega b + \theta $ として導出し、ここで $ \Omega $ は行列1形式、$ \theta $ は非対角成分の積を符号化するベクトル値微分形式である。
• 同次系の基本行列 $ Y(a) $ を用い、$ c(a) = \text{const} + \int_{a^0}^a Y^{-1} \theta $ を構成し、$ Y^{-1}\theta $ の閉性により経路に依存しないことを示す。
• ヴァルチェンコの補題2を適用し、$ Y^{-1} = (Y^*)^T \Lambda $ と表現する。ここで $ Y^* $ は $ -\beta $ を用いた双対系の解であり、$ \Lambda = \text{diag}(1/\beta_1, \dots, 1/\beta_n) $ である。これにより $ Y^{-1} $ の成分に対する積分表現が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブロック上三角形モノドロミーを持つシュレスラー等モノドロミー族が、定数ゲージ変換によって同じブロック上三角形形式に還元可能となる条件は何か？
• RQ2 シュレスラー方程式の上三角形解の成分に対するハイパージェオメトリック型の積分表現をどのように構成できるか？
• RQ3 等モノドロミー族における残留行列 $ B_i(a) $ の可約性とモノドロミー行列 $ G_i $ のブロック構造との関係は何か？
• RQ4 シュレスラー方程式の下で、上三角形解の非対角成分 $ u_i(a), v_i(a), b_i(a) $ はどのように進化するか？それらの振る舞いを支配する系は何か？
• RQ5 $ \tau $-関数とマルドゥーニャの $ \Theta $-除集合は、等モノドロミー族のパラメトリック可約性において果たす役割は何か？

主な発見

• モノドロミー行列が既にその形式にある場合に、シュレスラー等モノドロミー族の残留行列 $ B_i(a) $ が定数ゲージ変換によってブロック上三角形形式に還元可能となる十分条件が導出された。
• $ p=3 $ の場合における第一および第二非対角成分を表すベクトル関数 $ u(a) $ および $ v(a) $ は、指数の差 $ \beta_i^1 - \beta_i^2 $、$ \beta_i^2 - \beta_i^3 $ に依存する行列1形式 $ \Omega^u, \Omega^v $ を用いたジョルダン・ポハマー系 $ du = \Omega^u u $、$ dv = \Omega^v v $ を満たす。
• 上三角成分 $ b_i(a) $ は非同次系 $ db = \Omega b + \theta $ を満たし、ここで $ \Omega $ はシュレスラー方程式からの行列1形式、$ \theta $ は非対角成分の積を符号化するベクトル値微分形式である。
• 解 $ b(a) = Y(a)c(a) $ は $ c(a) = \text{const} + \int_{a^0}^a Y^{-1}\theta $ と構成され、$ Y^{-1}\theta $ の閉性により積分が経路に依存せず、可積分性が保証される。
• すべての $ \beta_i \neq 0 $ の場合、基本行列の逆行列 $ Y^{-1} $ は $ Y^{-1} = (Y^*)^T \Lambda $ と表現され、ここで $ Y^* $ は $ -\beta $ を用いた双対系の解であり、$ \Lambda = \text{diag}(1/\beta_1, \dots, 1/\beta_n) $ である。
• $ Y^{-1} $ の成分に対するハイパージェオメトリック型の積分表現が確立され、ねじれたサイクル統合技術が等モノドロミー変形および上三角形解の文脈に一般化された。