[論文レビュー] On the reductive monoid associated to a parabolic subgroup

Jonathan Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、完備体上の再帰的群 $G$ のパラボリック部分群 $P$ に関連する正規再帰的モノイド $\overline{M}$ を構成し、特徴づける。$\overline{M}$ はアフィン閉包 $\overline{G/U(P)}$ のリトラクトとして得られ、ヴインバーグ半群 $\overline{G_{\text{enh}}}$ のある種の冪等元切断と同型であることを示す。主な結果は、$\overline{M}$ が正規で、その単位元群が $P$ のレヴィ因子 $M$ に一致し、そのレナーロン（Renner）錐が切断されたヴインバーグ半群のそれと一致することであり、任意の特徴を持つ場合の組合せ的分類を提供する。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected reductive group over a perfect field $k$. We study a certain normal reductive monoid $\overline M$ associated to a parabolic $k$-subgroup $P$ of $G$. The group of units of $\overline M$ is the Levi factor $M$ of $P$. We show that $\overline M$ is a retract of the affine closure of the quasi-affine variety $G/U(P)$. Fixing a parabolic $P^-$ opposite to $P$, we prove that the affine closure of $G/U(P)$ is a retract of the affine closure of the boundary degeneration $(G imes G)/(P imes_M P^-)$. Using idempotents, we relate $\overline M$ to the Vinberg semigroup of $G$. The monoid $\overline M$ is used implicitly in the study of stratifications of Drinfeld's compactifications of the moduli stacks $\mathrm{Bun}_P$ and $\mathrm{Bun}_G$.

研究の動機と目的

• 再帰的群 $G$ のパラボリック部分群 $P$ のレヴィ因子 $M$ を $\operatorname{Spec}k[G/U(P)]$ に閉包化して得られるモノイド $\overline{M}$ が、任意の特徴を持つ代数的モノイドとして正規であることを確立すること。
• $\overline{M}$ がアフィン閉包 $\overline{G/U(P)}$ のリトラクトであることを示し、これにより周囲空間の正規性を引き継ぐこと。
• $\overline{M}$ とヴインバーグ半群 $\overline{G_{\text{enh}}}$ を、冪等元切断 $e_P \cdot \overline{G_{\text{enh}}} \cdot e_P$ を通じて関連付けること。
• $\overline{M}$ のレナーロン錐が、切断されたヴインバーグ半群 $e_P \cdot \overline{G_{\text{enh}},\mathbf{c}_P} \cdot e_P$ のそれと一致することを証明し、組合せ的分類を達成すること。
• ドリンフェルトのコンパクト化およびヘッケスタックの文脈において、正の特徴を持つ場合への漸近的性質やアイゼンスタイン系列ファンクターに関する結果の一般化の基盤を提供すること。

提案手法

• グロスハンズによって確立された $k[G/U(P)]$ の有限生成性を活用し、$\overline{M}$ を $\operatorname{Spec}k[G/U(P)]$ 内の $M$ の閉包として構成する。
• $e_P$ を適切な冪等元として、写像 $x \mapsto e_P \cdot x \cdot e_P$ を用いて $\overline{M}$ が $\overline{G/U(P)}$ のリトラクトであることを証明する。
• 正規スキームのリトラクトは正規であるという事実を用い、補題 4.2.11 を適用することで、$\overline{G/U(P)}$ の正規性から $\overline{M}$ の正規性を導く。
• 重み写像によるコワイト格子上の評価を通じて、$\overline{M}$ と $e_P \cdot \overline{G_{\text{enh}},\mathbf{c}_P} \cdot e_P$ のレナーロン錐を比較し、両者の同型を同定する。
• $\mathbf{c}_P$ における評価によって誘導される重み写像 $\check{C}_{\mathbb{Z}} \to \check{\Lambda}$ の像が $W_M \cdot \check{\Lambda}^+_G$ に一致することを示し、錐の一致を確認する。
• レナーロン錐による正規再帰的モノイドの分類を用いて、$\overline{M}$ と $e_P \cdot \overline{G_{\text{enh}},\mathbf{c}_P} \cdot e_P$ がモノイドとして同型であると結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\overline{M}$ が、$\operatorname{Spec}k[G/U(P)]$ 内のレヴィ因子 $M$ の閉包として定義されるモノイドとして、任意の特徴を持つ場合に正規であるか。
• RQ2 $\overline{M}$ はアフィン閉包 $\overline{G/U(P)}$ およびヴインバーグ半群 $\overline{G_{\text{enh}}}$ とどのように関係しているか。
• RQ3 $\overline{M}$ のレナーロン錐は何か。また、ヴインバーグ半群の組合せ的データとどのように関係しているか。
• RQ4 $\overline{M}$ の構成は、正の特徴を持つ場合における漸近的性質やアイゼンスタイン系列ファンクターに関する結果の一般化に利用可能か。
• RQ5 $\overline{G/U(P)}$ 上のリトラクト構造 $x \mapsto e_P \cdot x \cdot e_P$ は、$\overline{M}$ を部分モノイドとして自然に実現する方法を提供するか。

主な発見

• $\overline{M}$ は、正規なアフィン多様体 $\overline{G/U(P)}$ のリトラクトであるため、任意の特徴を持つ場合に正規である。
• $\overline{M}$ は、正規性のリトラクトおよび正規化の議論により、$e_P \cdot \overline{G_{\text{enh}},\mathbf{c}_P} \cdot e_P$ と同型であり、これ自体も正規である。
• $\overline{M}$ のレナーロン錐は $W_M \cdot \check{\Lambda}^+_G$ に等しく、$G$ の支配的コワイト格子のワイル群軌道によって生成される飽和モノイドである。
• $\mathbf{c}_P$ における評価によって誘導される重み写像 $\check{C}_{\mathbb{Z}} \to \check{\Lambda}$ の像は、正確に $W_M \cdot \check{\Lambda}^+_G$ に一致し、錐の一致を裏付けた。
• $\overline{M}$ の構成は、ヘッケスタックの正の部分 $\mathcal{H}^+_{M}$ の組合せ的モデルを提供し、ドリンフェルトのコンパクト化に関連する。
• $\overline{M}$ のレナーロン錐が [15] で用いられた級数展開のための錐の双対として特定されることにより、[15] の枠組みが任意の特徴を持つ場合に一般化される。