[論文レビュー] On the Rees-Sushkevich variety

Stanislav Kublanovsky|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2010

semigroups and automata theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、周期的で指数が有界な群上の完全0単純半群によって生成される、Rees–Sushkevich 種類の半群の多様体であるかどうかを決定する決定可能アルゴリズムを確立する。このような多様体は、13個の特定の有限半群の存在を含まないことで特徴づけられ、恒等式と余有限性条件を用いたアルゴリズム的基準が提示され、余有限性の性質や完全0単純半群によって生成される正確な多様体の特徴付けに応用される。

ABSTRACT

We study varieties of semigroups related to completely 0-simple semigroup. We present here an algorithmic descriptions of these varieties in terms of "forbidden" semigroups. We also describe residually completely 0-simple varieties of semigroups in terms of identities.

研究の動機と目的

• 与えられた半群の多様体が、周期的で指数が有界な群上の完全0単純半群によって生成される Rees–Sushkevich 多様体であるかどうかを決定すること。
• 禁止される有限半群と恒等式を用いた、Rees–Sushkevich 多様体のアルゴリズム的特徴付けを提供すること。
• 完全0単純半群によって生成される多様体（「正確な」多様体と呼ばれる）を、より広いクラスの Rees–Sushkevich 多様体の中で特徴づけること。
• これらの多様体内での余有限性および Brandt または B₂ 半群に関する余有限性という余有限性の性質を調査すること。
• 周期的群の指数 n に対する等式理論の決定可能性と、Rees–Sushkevich 多様体を同定する決定可能性を結びつけること。

提案手法

• 任意の Rees–Sushkevich 多様体に含まれてはならない13個の特定の有限半群の提示の有限リストを導入する。
• すべての非バランス型恒等式によって定義される任意の多様体は、ある x^m = x^{m+n} を満たすため、r ≤ n に対する K_r 半群に対して有限なテストが可能であることを用いる。
• バランス型恒等式の概念を適用する：もし系に含まれるすべての恒等式がバランス型であれば、多様体はすべての可換半群を含み、したがって Rees–Sushkevich になり得ない。
• Green の関係 L, R, H を用いて、多様体内の余有限性と余有限性を特徴付ける。
• Adian や Ivanov による Burnside 問題に関する既知の結果を活用し、奇数の n ≥ 665 および 2^9 を割る 2^48 より大きい n に対して決定可能性を確立する。
• 半群の提示と恒等式系を用いて、余有限性の性質に基づき、Brandt 半群への埋め込みを含めた多様体の分類を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限提示された半群の多様体が Rees–Sushkevich 多様体であるかどうかを決定するアルゴリズムは存在するか？
• RQ2 どの半群の多様体が完全0単純半群によって生成されるか（「正確な」多様体と呼ばれる）？ そして、それらはどのように特徴づけられるか？
• RQ3 すべての半群が B₂ に余有限であるか、または Brandt に余有限であるような多様体を特徴づける恒等式は何か？
• RQ4 周期的群の指数 n に対する等式理論の決定可能性は、Rees–Sushkevich 多様体を同定する決定可能性とどのように関係するか？
• RQ5 Green の関係 L, R, H は、Rees–Sushkevich 多様体における余有限性と余有限性を特徴付けるために果たす役割は何か？

主な発見

• 半群の多様体 V が Rees–Sushkevich 多様体であるための必要十分条件は、13個の特定の有限半群（提示によって定義される）をすべて含まないことである。
• 禁止される半群と K_r 半群（r ≤ n）に対する有限テストのみを用いることで、Rees–Sushkevich 多様体を識別する問題は決定可能である。
• 完全0単純半群によって生成される任意の多様体（「正確な」多様体）は Rees–Sushkevich 多様体であり、B₂, A₀, A₂, N₂ 半群を含む条件によって特徴づけられる。
• すべての正確な半群多様体のクラスは、半群多様体の格子の部分格子をなし、驚くべき構造的結果である。
• すべての半群が B₂ に余有限または Brandt に余有限であるような多様体は、3つの特定の恒等式の集合によって特徴づけられ、このような多様体は余有限であるか、または正規完全単純バンドのインフレーションである。
• 奇数の n ≥ 665 および 2^9 を割る 2^48 より大きい n に対して、周期的群の指数 n に対する等式理論は決定可能であり、これはすべての完全0単純半群が周期的群の指数 n に対して生成する多様体と一致するかどうかを決定するアルゴリズムの存在を示唆する。