[論文レビュー] On the Regularity of Geodesics in the Space of Kähler Metrics

Jianchun Chu, Valentino Tosatti+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 30被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、コンpact Kähler多様体上の任意の2つのKählerポテンシャルを結ぶ $C^{1,1}$ geodesicセグメントの存在を確立する。これは、右辺に正の下界が存在しない場合でも有効である新しい事前内実ヘッセ行列の境界を、非退化な複素Monge-Ampère方程式の解に対して得ることに依拠している。

ABSTRACT

We prove that any two Kahler potentials on a compact Kahler manifold can be connected by a geodesic segment of $$C^{1,1}$$ regularity. This follows from an a priori interior real Hessian bound for solutions of the nondegenerate complex Monge-Ampere equation, which is independent of a positive lower bound for the right hand side.

研究の動機と目的

• コンpact Kähler多様体上のKähler計量空間におけるgeodesicの正則性を確立すること。
• 複素Monge-Ampère方程式の右辺に正の下界を仮定しない状況でも、geodesicセグメントにおける曲率の増大を制御する課題に取り組むこと。
• 右辺の下界に依存しない事前内実ヘッセ行列の境界を導出することにより、最小限の仮定の下での正則性結果を可能にすること。
• Kählerポテンシャル間を結ぶすべてのパスに対して $C^{1,1}$ 正則性を示すことで、無限次元Kähler幾何におけるgeodesic経路の理解を拡張すること。

提案手法

• 非退化な複素Monge-Ampère方程式の解に対して、事前内実ヘッセ行列の境界を導出すること。
• Kähler計量空間におけるgeodesic方程式の文脈で、この境界を $C^{1,1}$ 正則性の観点から応用すること。
• 楕円型PDE理論と複素幾何の技法を用いて、geodesicに沿ったKählerポテンシャルの2階微分を制御すること。
• 領域の内部全域に一様に境界を確立し、方程式の右辺の下界に依存しないこと。
• 最大原理の議論と、複素Monge-Ampère方程式の解のヘッセ行列に対する鋭い推定を用いること。
• 得られた正則性制御を用いて、任意の2つのKählerポテンシャルの間にgeodesicセグメントを構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンpact Kähler多様体上に存在する任意の2つのKählerポテンシャルを結ぶgeodesicセグメントが $C^{1,1}$ 正則性を有することが示せるか？
• RQ2 複素Monge-Ampère方程式の解に対して、右辺に正の下界を仮定しない事前内実ヘッセ行列の境界を導出することは可能か？
• RQ3 このような下界の欠如が、Kähler計量空間におけるgeodesicの正則性に影響を与えるか？
• RQ4 曲率や体積形式に関する制限のない仮定の下でも、内在的な幾何学的・解析的道具を用いてgeodesicの正則性を確立できるか？
• RQ5 内部ヘッセ推定は、無限次元Kähler多様体におけるgeodesicの挙動を制御する上で果たす役割は何か？

主な発見

• コンpact Kähler多様体上の任意の2つのKählerポテンシャルは、$C^{1,1}$ 正則性を有するgeodesicセグメントで接続可能である。
• 非退化な複素Monge-Ampère方程式の解に対して、事前内実ヘッセ行列の境界が確立された。
• このヘッセ行列の境界は、方程式の右辺に正の下界が存在しない場合でも有効であり、これが主な新規性である。
• 境界により、geodesicに沿ったKählerポテンシャルの2階微分が一様に制御される。
• この結果は、geodesicが右辺の大きさにかかわらず、$C^{1,1}$位相において良好に振る舞うことを示唆する。
• この手法は、曲率や体積形式に制限を課さないKähler幾何におけるgeodesic経路の分析に、強固なフレームワークを提供する。