[論文レビュー] On the Regularity of Hamiltonian Stationary Lagrangian manifolds

Jingyi Chen, Micah Warren|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$ℝ^n$ 内の任意の $C^1$ ハミルトニアン定常ラグランジュ部分多様体が必ず実解析的であることを確立し、最小部分多様体に対するモレイの定理の4次元版を示している。著者らは、内部推定と座標回転技術を用いて、凸性および小規模性の条件の下で、$C^{1,1}$ ポテンシャル関数と有界なヘッセ行列をもつ弱解が滑らかであることを示している。

ABSTRACT

We prove a Morrey-type theorem for Hamiltonian stationary submanifolds of $\mathbb{C}^{n}$. Namely, if $L$ $\subset$ $\mathbb{C}^{n}$ is a $C^{1}$ Lagrangian submanifold with weakly harmonic Lagrangian phase $θ,$ then $L$ must be smooth. In the process we also discuss a local version of the equation, which is a nonlinear fourth order double divergence equation of the potential function whose gradient graph defines the Hamiltonian stationary submanifolds locally, and we establish full regularity and removability of singular sets of capacity zero for weak solutions with $C^{1,1}$ norm below a dimensional constant.

研究の動機と目的

• ポテンシャル関数が $C^1$ のみである場合のハミルトニアン定常ラグランジュ部分多様体の正則性を確立すること。
• 最小部分多様体に関するモレイの古典的結果を、ハミルトニアン定常ラグランジュ多様体の4次元設定に拡張すること。
• ヘッセ行列に凸性および小規模性の条件が課された $C^{1,1}$ ポテンシャル関数をもつ弱解が、ハミルトニアン定常方程式に対して滑らかであることを証明すること。
• 弱解の4次方程式に対する容量ゼロの特異点集合の除去可能性を示すこと。
• ラグランジュ位相関数 $θ$ が弱調和関数である場合、適切な幾何的制約のもとで完全な正則性が得られることを示すこと。

提案手法

• ハミルトニアン変換の下での体積汎関数の変分的定式化を用いる。
• 局所的に、ハミルトニアン定常部分多様体を、Euler-Lagrange 方程式から導かれる4次非線形楕円型方程式を満たす関数 $u$ の勾配グラフとして特徴付ける。
• 幾何的定式化において、ラグランジュ位相関数 $\theta = \operatorname{Im} \log \det(I + iD^2u)$ が、グラフ上での2次方程式 $\Delta_g \theta = 0$ を満たすことを用いる。
• 座標回転技術を適用してヘッセ行列を一様凸形に変換し、2次楕円型理論の適用を可能にする。
• 双リプシッツ座標変換を用いて、回転後の座標系における内部推定を元の座標系に移し、正則性を保つ。
• 関数 $\theta$ が $D^2u$ に関して奇関数であることを利用し、問題を $-u$ の解析に帰着させる。回転後、$-u$ は一様凸となるため、既知の正則性結果の適用が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小部分多様体に対するモレイ型正則性結果を、ハミルトニアン定常ラグランジュ多様体の4次元設定に拡張できるか？
• RQ2 ポテンシャル関数 $u$ のヘッセ行列にどのような条件下で、ハミルトニアン定常方程式の弱解が滑らかになるか？
• RQ3 弱解の4次方程式に対する容量ゼロの特異点集合は除去可能か？
• RQ4 ラグランジュ位相関数 $\theta$ の正則性は、ポテンシャル関数 $u$ の正則性とどのように関係するか？
• RQ5 ハミルトニアン変換の下で $C^1$ なラグランジュ部分多様体が臨界的である場合、どのような幾何的・解析的条件が、それが実解析的であることを保証するか？

主な発見

• 任意の $C^1$ ハミルトニアン定常ラグランジュ部分多様体は $ℝ^n$ 内で実解析的であり、モレイの定理の4次元版を確立する。
• $C^{1,1}$ ポテンシャル関数と $\|u\|_{C^{1,1}} \leq c(n)$ をもつ弱解は、ヘッセ行列に凸性条件が満たされれば滑らかである。
• ヘッセ行列が有界で位相関数が弱調和関数であるとき、ポテンシャル関数 $u$ に対して任意の $k$ について内部 $C^{k,\alpha}$ 推定が得られる。
• ハミルトニアン定常方程式の弱解の特異点集合は容量ゼロであり、除去可能である。つまり、解はその上を滑らかに拡張可能である。
• 適切な座標回転を施すと、ポテンシャル関数は一様凸となる。これにより2次楕円型理論を適用し、完全な正則性を導出可能である。
• $D^2u$ が連続であるか、わずかな不連続性をもつ場合でも、$\|u\|_{C^{1,1}} \leq c(n)$ で $c(n)$ が次元に依存する十分に小さい限り、結果は成り立つ。