[論文レビュー] On the regularity of maps solutions of optimal transportation problems

Grégoire Loeper|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、任意の滑らかで正のデータに対して、モンジュの問題における最適輸送写像の連続性の必要十分条件である「非負のコスト断面曲率」を確立する。コスト関数がリーマン多様体上の二乗距離である場合、コスト断面曲率は多様体の断面曲率に帰着され、多様体のどこかで負の曲率をとれば最適写像の不連続性が生じることを示している。

ABSTRACT

We give a necessary and sufficient condition on the cost function so that the map solution of Monge's optimal transportation problem is continuous for arbitrary smooth positive data. This condition was first introduced by Ma, Trudinger and Wang \cite{MTW, TW} for a priori estimates of the corresponding Monge-Ampère equation. It is expressed by a so-called {\em cost-sectional curvature} being non-negative. We show that when the cost function is the squared distance of a Riemannian manifold, the cost-sectional curvature yields the sectional curvature. As a consequence, if the manifold does not have non-negative sectional curvature everywhere, the optimal transport map {\em can not be continuous} for arbitrary smooth positive data. The non-negativity of the cost-sectional curvature is shown to be equivalent to the connectedness of the contact set between any cost-convex function (the proper generalization of a convex function) and any of its supporting functions. When the cost-sectional curvature is uniformly positive, we obtain that optimal maps are continuous or Hölder continuous under quite weak assumptions on the data, compared to what is needed in the Euclidean case. This case includes the reflector antenna problem and the squared Riemannian distance on the sphere.

研究の動機と目的

• 任意の滑らかで正のデータに対して、最適輸送写像が連続となる正確な条件を同定すること。
• Ma-Trudinger-Wang 条件 (A3w) の幾何的意味をコスト断面曲率の観点から明確化すること。
• コスト断面曲率とリーマン多様体の断面曲率との間の関係を確立すること。
• 負の断面曲率をもつ多様体上では最適輸送写像が不連続となることの証明。
• コスト断面曲率が一様に正である場合、弱いデータ仮定のもとで最適写像の Hölder 連続性が保証されることを示すこと。

提案手法

• コスト関数のための断面曲率の一般化として、コスト断面曲率テンソル $\mathfrak{S}_c(x,y)(\xi,\nu)$ を導入する。
• c-凸性およびc-凸関数とその接続関数との間の接触集合の定義と分析を行う。
• A3w 条件（非負のコスト断面曲率）を用いて、接触集合の連結性を証明し、正則性に不可欠な性質を示す。
• 幾何学的および測度論的技法を用い、特に標的にある線分の近傍における体積推定を行う。
• カンタロヴィッチ双対性フレームワークを用い、最適輸送計画とc-凸ポテンシャル、およびその劣微分との関係を関係づける。
• 接続関数を構成し、A1およびA2の下で微分同相性の性質を用いて、輸送近傍の測度の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の滑らかで正のデータに対して、最適輸送写像が連続となるコスト関数の必要十分条件は何か？
• RQ2 コスト関数がリーマン多様体上の二乗距離である場合、コスト断面曲率はその多様体の断面曲率とどのように関係するか？
• RQ3 基礎となる多様体にどのような幾何的条件が成立すると、最適輸送写像が連続でなくなるか？
• RQ4 コスト断面曲率が一様に正であるというより強い曲率仮定のもとで、最適写像の正則性は向上するか？
• RQ5 c-凸関数とその接続関数との間の接触集合の連結性が、最適写像の正則性に果たす役割は何か？

主な発見

• コスト断面曲率条件 A3w（非負のコスト断面曲率）は、任意の滑らかで正のデータのもとで、最適輸送写像の連続性の必要十分条件である。
• コスト関数がリーマン多様体上の二乗距離である場合、コスト断面曲率は多様体の断面曲率と一致する。
• リーマン多様体がどこかの点で負の断面曲率をとるならば、任意の滑らかで正のデータのもとで最適輸送写像は連続ではありえない。
• コスト断面曲率が一様に正であると、データに関する仮定を最小限にしたもとで、最適写像が連続、あるいは Hölder 連続であることが保証され、ユークリッド空間における既知の結果を改善する。
• c-凸関数とその接続関数との間の接触集合の連結性は、コスト断面曲率の非負性と同値である。
• 球面上の二乗コスト（正の断面曲率をもつ）では、最適輸送写像が連続であることが確認され、非自明な幾何的設定において理論が裏付けられた。