[論文レビュー] On the regularity of weak solutions to Burgers equation with finite entropy production

Xavier Lamy, Félix Otto|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 32被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、有限のエントロピー生産を持つバーガー方程式の弱解が、ある α>0 に対して (1+α)-次元上付度が有限である点において、ホルダー連続性を示す。非リーマン点の集合のハウスドルフ次元が1以下であることが証明され、非エントロピー解の主要な正則性問題が、エントロピー生産測度の幾何的構造と結びつけられることで解決された。

ABSTRACT

Bounded weak solutions of Burgers' equation $\\partial_tu+\\partial_x(u^2/2)=0$ that are not entropy solutions need in general not be $BV$. Nevertheless it is known that solutions with finite entropy productions have a $BV$-like structure: a rectifiable jump set of dimension one can be identified, outside which $u$ has vanishing mean oscillation at all points. But it is not known whether all points outside this jump set are Lebesgue points, as they would be for $BV$ solutions. In the present article we show that the set of non-Lebesgue points of $u$ has Hausdorff dimension at most one. In contrast with the aforementioned structure result, we need only one particular entropy production to be a finite Radon measure, namely $\\mu=\\partial_t (u^2/2)+\\partial_x(u^3/3)$. We prove H\\"older regularity at points where $\\mu$ has finite $(1+\\alpha)$-dimensional upper density for some $\\alpha>0$. The proof is inspired by a result of De Lellis, Westdickenberg and the second author : if $\\mu_+$ has vanishing 1-dimensional upper density, then $u$ is an entropy solution. We obtain a quantitative version of this statement: if $\\mu_+$ is small then $u$ is close in $L^1$ to an entropy solution.

研究の動機と目的

• 有限のエントロピー生産を持つが、エントロピー解でない有界弱解の正則性を調査すること。
• ジャンプ集合の外にあるすべての点が、BV解と同様にリーマン点であるかどうかを特定すること。
• 非リーマン点の集合のサイズをハウスドルフ次元の観点から特徴づけること。
• 小さなエントロピー生産と L¹ 距離におけるエントロピー解への近接性との間の定量的関係を確立すること。
• 2次エントロピー生産測度を用いた、解の微細構造の理解を拡張すること。

提案手法

• 著者たちは、エントロピー生産測度 μ = ∂ₜ(u²/2) + ∂ₓ(u³/3) に注目し、その (1+α)-次元上付度を分析する。
• デ・レリス、ヴェストディッケンベルク、オットーによる結果の定量的版を用いる：もし μ₊ が1次元上付度をもたなければ、u はエントロピー解である。
• 証明は、スケーリング極限（ブローインアップ）のアプローチと、関連するハミルトン・ジャコビ方程式の粘性解の構成に依存する。
• 重要なステップとして、μ の (1+α)-次元上付度が有限である点において、解 u がホルダー連続であることを示す。
• 時間的正則性は、空間と時間の平均化を用いて方程式から導出され、u の有界性が利用される。
• ホプフ＝ラクスの公式と、粘性解のリプシッツ推定を用いて、u の空間的および時間的変動を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限のエントロピー生産を持つ弱解のジャンプ集合の外にあるすべての点が、その解のリーマン点であるか？
• RQ2 このような解における非リーマン点の集合のハウスドルフ次元は何か？
• RQ3 ある α>0 に対して、エントロピー生産測度 μ の (1+α)-次元上付度が有限である点において、ホルダー正則性が確立できるか？
• RQ4 エントロピー生産測度の大きさは、L¹ 距離におけるエントロピー解への近接性をどのように制御するか？
• RQ5 2次エントロピー生産 μ = ∂ₜ(u²/2) + ∂ₓ(u³/3) は、弱解の微細構造をどの程度決定づけるか？

主な発見

• u の非リーマン点の集合のハウスドルフ次元は1以下である。
• エントロピー生産測度 μ が、ある α>0 に対して (1+α)-次元上付度が有限である点では、解 u はホルダー連続である。
• このような点において、解 u は指数 α/(α+256) のホルダー連続性を示す。
• 定量的結果が確立された：もし μ₊ が小さい (1+α)-次元上付度を持つならば、u は L¹ でエントロピー解に近い。
• エントロピー生産測度 μ が、完全な BV 構造を要件としない状況でも、u の正則性を制御できることを確認した。
• 解析により、特異集合 J が可微分可能であり、J 上に片側極限が存在することが示された。これは BV 的な振る舞いと整合的である。