[論文レビュー] On the Relation Between Fock and Schroedinger Representations for a Scalar Field

Alejandro Corichi, Jerónimo Cortez+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2002

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 35被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、ミンコフスキー時空および任意のグローバルにハイパボリックな曲がった時空における自由実スカラー場について、フォック表現とシュレーディンガー表現を結びつける厳密な数学的枠組みを確立する。シュレーディンガー表現における標準フォック真空に対応する波動関数がガウス型測度として記述されることを示し、関数微分と演算子の制約を用いて真空波動関数を明示的に導出することで、平坦および曲がった背景における両表現の整合性を確認する。

ABSTRACT

Linear free field theories are one of the few Quantum Field Theories that are exactly soluble. There are, however, (at least) two very different languages to describe them, Fock space methods and the Schroedinger functional description. In this paper, the precise sense in which the two representations are related is reviewed. Several properties of these representations are studied, among them the well known fact that the Schroedinger counterpart of the usual Fock representation is described by a Gaussian measure. A real scalar field theory is considered, both on Minkowski spacetime for arbitrary, non-inertial embeddings of the Cauchy surface, and for arbitrary (globally hyperbolic) curved spacetimes. As a concrete example, the Schroedinger representation on stationary and homogeneous cosmological spacetimes is constructed.

研究の動機と目的

• 量子場理論におけるフォック表現とシュレーディンガー表現の明確な数学的関係を明らかにすること。
• 特に曲がった時空における場理論のシュレーディンガー表現を理解するための概念的・技術的ギャップを埋めること。
• 定常的かつ一様な宇宙論的時空におけるスカラー場のシュレーディンガー表現を構築すること。
• 関数微分方程式と演算子の制約を用いて、シュレーディンガー表現における真空波動関数を厳密に導出すること。
• 標準フォック真空のシュレーディンガー表現がガウス型測度に対応することを示し、正準量子化と整合することを確認すること。

提案手法

• スカラー場の空間上の関数的微分として、場の配置と運動量演算子を定義することにより、シュレーディンガー表現を導出する。
• 真空状態が、位相空間上の複素線形汎関数として表される消滅演算子によって消えるという条件を用いる。
• 関数微分方程式 $ \frac{\delta \Psi_0[\varphi]}{\delta \varphi} = -({\cal Q} \cdot \varphi) \Psi_0[\varphi] $ を適用し、ここで $ {\cal Q} = ({\bf{1}} - iC)B^{-1} $ である。これにより、真空波動関数を特定する。
• 真空波動関数を $ \Psi_0[\varphi] = e^{-\frac{1}{2}\int_{\Sigma} \varphi (B^{-1} - iCB^{-1}) \varphi} $ として構成し、ガウス型測度と整合することを保証する。
• 関数微分と演算子 $ {\cal Q} $ の対称性を検証することで、導出された波動関数が真空条件を満たすことを確認する。
• 測度 $ d\mu = {\cal D}\varphi \, e^{-\int_{\Sigma} \varphi B^{-1} \varphi} $ が、シュレーディンガー表現における標準フォック真空に対応することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スカラー場理論におけるフォック表現とシュレーディンガー表現の数学的関係は何か？
• RQ2 自由スカラー場のシュレーディンガー表現における真空波動関数の明示的形は何か？
• RQ3 特に定常的かつ一様な宇宙論的背景において、シュレーディンガー表現を一貫して定義できるか？
• RQ4 標準フォック真空のシュレーディンガー表現がガウス型測度に対応するか？
• RQ5 関数的シュレーディンガー図式における真空構造を決定づける演算子 $ {\cal Q} = ({\bf{1}} - iC)B^{-1} $ の役割は何か？

主な発見

• シュレーディンガー表現における真空波動関数は $ \Psi_0[\varphi] = e^{-\frac{1}{2}\int_{\Sigma} \varphi (B^{-1} - iCB^{-1}) \varphi} $ として導出され、これによりフォック真空と明示的に結びつけられる。
• 関数微分方程式 $ \frac{\delta \Psi_0[\varphi]}{\delta \varphi} = -({\cal Q} \cdot \varphi) \Psi_0[\varphi] $ は、シュレーディンガー図式における真空状態を完全に特徴づける。
• 演算子 $ {\cal Q} = ({\bf{1}} - iC)B^{-1} $ は対称的であり、導出された波動関数がユニタリな量子力学と整合することを保証する。
• 測度 $ d\mu = {\cal D}\varphi \, e^{-\int_{\Sigma} \varphi B^{-1} \varphi} $ は、シュレーディンガー表現における標準フォック真空に対応するガウス型測度として特定される。
• この構成は、定常的かつ一様な宇宙論的モデルを含む、任意のグローバルにハイパボリックな時空におけるスカラー場に適用可能である。
• 結果として、フォック真空のシュレーディンガー表現が数学的に整合的であり、物理的にも整合的であることが確認される。