[論文レビュー] On the relation between integrability and infinite-dimensional algebras

Michael Freeman, P. West|ArXiv.org|Mar 19, 1993

Mathematical and Computational Methods参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、可積分系と無限次元代数の深い関係を調査し、U(1) Kac-Moody代数における可換なチャージが、特定の中心指数 c = 13 − 6n − 6/n (n > 1) に対して例外的 W-代数を生成することを示している。これらの W-代数はリーマン面理論における対称性を担う。さらに、非線形シュレーディンガー方程式と KP シリーズの間には W∞ 代数を通じた関係が存在し、可積分性が背後に潜む無限次元代数的構造に起因するという予想を裏付ける。

ABSTRACT

We review our work on the relation between integrability and infinite-dimensional algebras. We first consider the question of what sets of commuting charges can be constructed from the current of a \mbox{\sf U}(1) Kac-Moody algebra. It emerges that there exists a set $S_n$ of such charges for each positive integer $n>1$; the corresponding value of the central charge in the Feigin-Fuchs realization of the stress tensor is $c=13-6n-6/n$. The charges in each series can be written in terms of the generators of an exceptional \W-algebra. We show that the \W-algebras that arise in this way are symmetries of Liouville theory for special values of the coupling. We then exhibit a relationship between the ls equation and the KP hierarchy. From this it follows that there is a relationship between the ls equation and the algebra \Wi. These examples provide evidence for our conjecture that the phenomenon of integrability is intimately linked with properties of infinite dimensional algebras.

研究の動機と目的

• 可積分系と無限次元代数、特に W-代数の間の構造的関係を明らかにすること。
• U(1) Kac-Moody ライニアル代数からどの可換チャージの集合が構成可能かを特定すること。
• これらのチャージが例外的 W-代数に閉じることの条件を同定し、既知の可積分モデルと関連付けること。
• 非線形シュレーディンガー方程式および KP シリーズの文脈において W∞ 代数がどのように現れるかを調査すること。
• 可積分性が根本的に無限次元代数的対称性に起因するという予想に裏付けを提供すること。

提案手法

• Feigin-Fuchs 実現によるストレステンソルを用いて、U(1) Kac-Moody ライニアル代数から可換チャージを構成する。
• 各系列 S_n のチャージに対して、整数 n > 1 をパrameterとして用いて中心指数 c = 13 − 6n − 6/n を計算する。
• 代数的実現技術を用いて、チャージを例外的 W-代数の生成子の形に表現する。
• これらの W-代数が出現する特定の結合定数におけるリーマン面場理論の対称性構造を分析する。
• W∞ 代数を通じて非線形シュレーディンガー方程式と KP シリーズの間の対応関係を確立する。
• KP シリーズの Lax 演算子形式を用いて、その解と W∞ の代数的構造との関連を結ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの可換チャージの集合が U(1) Kac-Moody ライニアル代数から構成可能であり、それらはどのような代数的構造に閉じるか？
• RQ2 U(1) Kac-Moody ライニアルから生じる W-代数がリーマン面場理論の対称性を担うのは、中心指数 c がどの値のときか？
• RQ3 非線形シュレーディンガー方程式は、無限次元代数を通じて KP シリーズとどのように関係するか？
• RQ4 W∞ 代数は非線形シュレーディンガー方程式や KP シリーズといった可積分方程式を結ぶ際に果たす役割は何か？
• RQ5 可積分性は、背後に潜む無限次元代数的対称性の結果として、どの程度理解可能か？

主な発見

• 整数 n > 1 に対して、各系列 S_n に対して可換チャージの族が存在する。
• これらのチャージの Feigin-Fuchs 実現におけるストレステンソルの中心指数は c = 13 − 6n − 6/n である。
• 各 S_n シリーズのチャージは、例外的 W-代数の生成子に閉じる。
• これらの W-代数は、n に依存する特定の結合定数におけるリーマン面場理論の対称性である。
• 非線形シュレーディンガー方程式と KP シリーズの間には、W∞ 代数を通じた明確な代数的関係が確立された。
• 結果は、非線形系における可積分性が根本的に無限次元代数的構造に起因することを裏付ける。