[論文レビュー] On the relation between multifield and multidimensional integrable equations

V. É. Adler|ArXiv.org|Nov 21, 2000

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、多場モデルの可積分方程式（例：ベクトルNLS、Ablowitz-Ladik格子）とKPやmKP方程式などの多次元可積分系との間の新しい制約を確立する。多場階層からの対称性を活用することで、これらの系が適合する場-固有関数制約の下でLax対を形成することを示し、2次元Toda、ドレッシング鎖、分散的長波方程式などへの新たな還元と接続をもたらす。

ABSTRACT

The new examples are found of the constraints which link the 1+2-dimensional and multifield integrable equations and lattices. The vector and matrix generalizations of the Nonlinear Schrödinger equation and the Ablowitz-Ladik lattice are considered among the other multifield models. It is demonstrated that using of the symmetries belonging to the hierarchies of these equations leads, in particular, to the KP equation and twodimensional analogs of the dressing chain, Toda lattice and dispersive long waves equations. In these examples the multifield equation and its symmetry have meaning of the Lax pair for the corresponding twodimensional equation under some compatible constraint between field variables and eigenfunctions.

研究の動機と目的

• 多場可積分方程式とKPやmKPなどの1+2次元可積分系との間の新しい制約を特定すること。
• 多場モデルの対称性が、適合する場-固有関数関係を通じて高次元可積分方程式をどのように生成するかを調査すること。
• 微分差分方程式（格子）へのアプローチを拡張し、Ablowitz-LadikおよびToda型系を含むものとする。
• ベクトルおよび行列一般化NLSや関連モデルが、特定の制約の下で2次元方程式のLax対として機能することを示すこと。
• 非対称および対称的離散化された多場系の可積分性を調査し、既知の階層との関連を明らかにすること。

提案手法

• 多場変数（ψ, φ）と固有関数間の制約を導出し、1+2次元方程式を1+1次元階層に還元すること。
• ベクトルNLSおよびAblowitz-Ladik格子の3次および5次対称性を用いて、KPおよびmKP型方程式を生成すること。
• Miura型変換を適用し、格子変数（f, p）をmKPおよびKP方程式に非線形還元を通じて接続すること。
• 補助線形問題の整合性条件を用いて高次対称性を導出し、還元された系の可積分性を確認すること。
• 内積の有理関数（例：⟨ψ,φ⟩+1）を含む新しい制約を導入し、Todaおよび分散的長波（DLW）方程式を生成すること。
• ジョルダン代数および左対称代数構造を用いてKdVおよびバーガース型方程式を一般化し、Cole-Hopf型線形化によりその可積分性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの多場可積分方程式が、対称性に起因する制約を通じてKPやmKPなどの1+2次元可積分系を生じさせるか？
• RQ2 ベクトルNLSおよびAblowitz-Ladik格子の対称性が、特定の場の制約の下でKPやToda格子などの2次元方程式をどのように生成するか？
• RQ3 多場系のBäcklund変換から導かれる微分差分方程式（格子）が、既知の2次元可積分階層を再現できるか？
• RQ4 内積を含む有理関数制約（例：⟨ψ,φ⟩+1）が、多場モデルからTodaおよびDLW方程式を生成する際に果たす役割は何か？
• RQ5 ジョルダン代数や左対称代数における非標準的な非線形性を持つ多場系から、KPおよびmKP方程式の新しい可積分還元が得られるか？

主な発見

• 3次対称性を有するベクトルNLS系は、制約 u = -2⟨ψ,φ⟩ および q = 2⟨ψ,φₓ⟩ - 2⟨ψₓ,φ⟩ によりKP方程式を生成し、任意のNに対して有効である。
• ⟨ψ,φ⟩+1を含む第2の適合制約により、標準的なLax対形式とは異なるKP方程式の別表現が得られる。
• Ablowitz-Ladik格子は、Miura型変換を経て、f = -⟨ψ,φ₁⟩ - β および p = ⟨ψ,φ₁ₓ⟩ - ⟨ψₓ,φ₁⟩ + ⟨ψ,φ₁⟩² - β² によりmKP方程式に帰着する。
• jおよび-jの格子を合算することで得られるベクトルNLSの非対称的離散化は、制約 v = ⟨ψ,φ⟩+1 および u = -⟨ψ,φ₁⟩ の下でToda格子を再現する。
• 分散的長波（DLW）階層は、多場系の対称性から導かれる。uₜ = u_zz - 2v_z + 2pu_z および v_η = -(v_z - 2pv)_z, p_x = u_z が成り立つ。
• ジョルダン代数設定（D_N）におけるKdV型方程式は、v = 6u および q = 6u_xx + 18u² - 18⟨ψ,ψ⟩ を用いて2次元Sawada-Kotera型方程式を生成し、高次対称性による可積分性が確認される。