[論文レビュー] On the Relation Between Quadratic and Linear Curvature Lagrangians in Poincar\\'e Gauge Gravity

Yuri N. Obukhov, Friedrich W. Hehl|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 1996

Geophysics and Gravity Measurements被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、スカラー場 $Φ$ を用いて曲率2形式を変形することにより、ポincareゲージ重力における位相的二次曲率不変量からアインシュタイン＝カルタンラグランジアンを導出する新規手法を提案する。定数 $\ell^{-2}$ をスカラー場 $Φ$ に置き換えることで、宇宙定数項を含まない純粋なアインシュタイン＝カルタン作用が得られ、共形対称性を保ちつつスカラー・テンソル重力モデルへ一般化可能である。

ABSTRACT

We discuss the choice of the Lagrangian in the Poincar\\'e gauge theory of gravity. Drawing analogies to earlier de Sitter gauge models, we point out the possibility of deriving the Einstein-Cartan Lagrangian {\\it without} cosmological term from a {\\it modified} quadratic curvature invariant of {\\it topological} type.

研究の動機と目的

• ポincareゲージ重力におけるアインシュタイン＝カルタンラグランジアンの動的起源を探索すること。
• 二次曲率モデルにおける望ましくない宇宙定数項の持続的問題に対処すること。
• スカラー場の変形を用いてde Sitterゲージアプローチをポincareゲージ重力へ一般化すること。
• 位相的不変量から共形対称性を保つ、あるいはスカラー・テンソル拡張のアインシュタイン＝カルタン重力の構築。
• アインシュタイン＝カルタン作用が、宇宙定数項を導入せずに位相的二次曲率形式から自然に導かれることが示されること。

提案手法

• スカラー場 $\Phi$ を用いてリーマン＝カルタン曲率2形式 $R_{\alpha\beta}$ を変形する。$\Omega^{\Phi}_{\alpha\beta} := R_{\alpha\beta} - \Phi^2 \vartheta_{\alpha\beta}$。
• 擬スカラー曲率成分を考慮するため、ねじれた変形 $\mathcal{R}^{\Phi}_{\alpha\beta} := R_{\alpha\beta} - \Phi^2 \eta_{\alpha\beta}$ を導入する。
• 位相的不変量における定数 $\ell^{-2}$ を $\Phi^2$ に置き換えることで、変形された曲率形式から重力ラグランジアンを構成する。
• 変形された曲率にガウス＝ボンネおよびチェーン＝ポントリャーギンの定理を適用し、有効なラグランジアンを導出する。
• 共形対称性 $\vartheta^\alpha \to e^\lambda \vartheta^\alpha$, $\Phi \to e^{-\lambda}\Phi$ を用いて、真空中におけるスカラー場を完全に消去する。
• スカラー場 $\Phi = 1/\ell$ をゲージ条件により固定した場合、結果のラグランジアンが純粋なアインシュタイン＝カルタン形式に還元されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相的二次曲率不変量から宇宙定数項を導入せずにアインシュタイン＝カルタンラグランジアンを導出可能か？
• RQ2 曲率変形にスカラー場 $\Phi$ を含めることで、得られる重力力学にどのような影響を与えるか？
• RQ3 共形対称性は、位相的不変量からアインシュタイン＝カルタンモデルが出現する過程で果たす役割は何か？
• RQ4 スカラー場の変形を用いて、de Sitterゲージモデルのメカニズムをポincareゲージ重力へ一般化可能か？
• RQ5 リーマン＝カルタン時空におけるねじれた曲率変形 $\mathcal{R}^{\Phi}_{\alpha\beta}$ の物理的意味は何か？

主な発見

• 変形 $\Omega^{\Phi}_{\alpha\beta} = R_{\alpha\beta} - \Phi^2 \vartheta_{\alpha\beta}$ をオイラー不変量に用いることで、アインシュタイン＝カルタン作用に等価なラグランジアンが得られ、さらに torsion の二乗項が付加される。
• スカラー場 $\Phi$ を導入することで、標準的な二次モデルとは異なり、宇宙定数項を含まないラグランジアンが得られる。
• スカラー場 $\Phi$ が存在する場合、$\vartheta^\alpha \to e^\lambda \vartheta^\alpha$, $\Phi \to e^{-\lambda}\Phi$ の下でWeyl共形対称性を示し、ゲージ固定により $\Phi$ を完全に消去可能である。
• 共形対称性により、$\Phi = 1/\ell$ を固定した場合、真空中の理論は標準的なアインシュタイン＝カルタン重力と等価である。
• 物質結合が共形対称性を破る場合、スカラー・テンソル理論の非リーマン的拡張が得られ、スカラー・テンソル重力への一般化が実現する。
• 本手法により、宇宙定数項問題を内蔵する従来のアプローチとは異なり、位相的不変量からアインシュタイン＝カルタンラグランジアンが自然に生成されるメカニズムが提供される。