[論文レビュー] On the relationship between derivations and measurable differentiable structures on metric measure spaces

Andrea Schioppa|arXiv (Cornell University)|May 15, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、倍加測度付き距離空間上における微分作用素と可測微分可能構造の基礎的関係を確立する。微分作用素モジュールが有界ランクの自由モジュールに分解されることを証明し、微分作用素が局所的上ラプラシアン定数を制御することにより、次元が高々 N である可測微分可能構造の存在が保証されることを示し、ケイシスの結果を拡張して、チャート関数をリプシッツ代数の与えられた生成集合から選べることを示している。

ABSTRACT

We investigate the relationship between measurable differentiable structures on doubling metric measure spaces and derivations. We prove: [1] a decomposition theorem for the module of derivations into free modules; [2] the existence of a measurable differentiable structure assuming that one can control the pointwise upper Lipschitz constant of a function through derivations; [3] an extension of a result of Keith about the choice of chart functions.

研究の動機と目的

• 倍加測度付き距離空間上における微分作用素モジュールの代数的構造を明確化すること。
• 微分作用素が局所的上ラプラシアン定数を制御する条件下で、可測微分可能構造が存在することを確立すること。
• ケイシスの結果におけるチャート関数選択の拡張を図ることで、それらをリプシッツ代数の与えられた生成集合から選べることを示すこと。
• 非滑らかメトリック測度空間における微分作用素と可測微分可能構造の概念を統合すること。

提案手法

• 空間の可測分割を用いて、微分作用素モジュールを有界ランクの自由モジュールに分解する。
• 関数の局所リプシッツ定数によって微分作用素の作用の大きさを制御する局所化された微分作用素不等式を導入する。
• 弱*位相と逐次連続性を用いて、微分作用素をリプシッツ代数上の弱*連続線形汎関数として特徴付ける。
• リプシッツ代数におけるストーン＝ワイエルシュトラス定理を用いて、一様分離条件の下で密度結果を証明する。
• ポアンカレ不等式と倍加条件を用いて、構造の有限次元性と正則性を保証する。
• ソボレフ空間の技法と L^∞-モジュール理論を用いて、微分作用素とリプシッツ関数との相互作用の挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 倍加測度付き距離空間上における微分作用素モジュールが、有界ランクの自由モジュールに分解可能となる条件は何か？
• RQ2 すべてのリプシッツ関数の点ごとの上ラプラシアン定数が微分作用素によって制御される場合、可測微分可能構造の存在は保証されるか？
• RQ3 可測微分可能構造におけるチャート関数は、与えられた有限生成集合から選べるか？
• RQ4 微分作用素は、メトリック測度空間における可測余接 bundle とソボレフ空間とどのように関係するか？
• RQ5 弱*連続性は、リプシッツ代数上での微分作用素の特徴付けにおいて果たす役割は何か？

主な発見

• インデックスが局所的に N で有界である倍加測度付き距離空間上における微分作用素モジュールは、高々 N+1 個の可測集合への可測分割をもち、それぞれの集合上で微分作用素モジュールは有界ランクの自由モジュールである。
• N 個の微分作用素と正の L^∞ 関数 λ が存在し、すべての関数 f に対して |D_j f| の最大値がほとんど everywhere で λ と f の点ごとの上ラプラシアン定数の積を支配するならば、空間は次元が高々 N である可測微分可能構造をもつ。
• 可測微分可能構造におけるチャート関数は、任意の与えられたリプシッツ代数の有限生成集合から選べる。ただし、偏導関数が微分作用素でなければならない。
• 微分作用素モジュール構造は弱*位相と整合性があり、分離性のもとで微分作用素の弱*連続性は逐次連続性と同値である。
• 局所化された微分作用素不等式 (3.20) により、リプシッツ関数上の微分作用素の作用が、局所的リプシッツ定数によって点ごとに制御される。
• リプシッツ代数におけるストーン＝ワイエルシュトラス定理により、任意の点を一様に分離する弱*閉部分代数は、必ず全体のリプシッツ代数に一致する。