[論文レビュー] On the Relationship between the Moyal Algebra and the Quantum Operator Algebra of von Neumann

B. J. Hiley|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、モーヤルの位相空間形式とフォン・ノイマンの基礎的量子代数の間の直接的な同型を確立し、Wigner関数（モーヤルの分布関数）が特定の表現における量子密度行列と等価であることを示している。形式的枠組みは、粒子が本質的に非局所的であり、位相空間において拡張された「量子ブロブ」として記述されることを示しており、非可換シンプレクティック幾何学が量子力学の基盤となり、自然に ℏ → 0 の極限で古典力学が得られることを示している。

ABSTRACT

The primary motivation for Moyal's approach to quantum mechanics was to develop a phase space formalism for quantum phenomena by generalising the techniques of classical probability theory. To this end, Moyal introduced a quantum version of the characteristic function which immediately provides a probability distribution. The approach is sometimes perceived negatively merely as an attempt to return to classical notions, but the mathematics Moyal develops is simply a re-expression of what is at the heart of quantum mechanics, namely the non-commutative algebraic structure first introduced by von Neumann in 1931. In this paper we will establish this relation and show that the "distribution function", F(P,X,t) is simply the quantum mechanical density matrix for a single particle. The coordinates, X and P, are not the coordinates of the particle but the mean co-ordinates of a cell structure (a `blob') in phase space, giving an intrinsically non-local description of each individual particle, which becomes a point in the limit to order $\hbar^2$. We discuss the significance of this non-commutative structure on the symplectic geometry of the phase space for quantum processes.

研究の動機と目的

• モーヤルの位相空間的取り組みとフォン・ノイマンの初期の量子代数的形式主義との間の基礎的関係を明確化すること。
• モーヤルのアプローチが単に半古典的あるいは古典的インスピレーションに基づくものであるという誤解を解き、それが完全に量子的同等性を有することを証明すること。
• Wigner関数が準確率ではなく、シンプレクティック表現における物理的に意味のある密度行列であることを確立すること。
• モーヤル代数の非可換構造が自然に量子的振る舞いを生じさせ、ℏ → 0 の極限で古典力学が得られることを示すこと。
• 非可換性が根本的であり波動関数が主軸でないプロセスに基づく量子力学の解釈の土台を築くこと。

提案手法

• ヘイゼンベルク＝ワイル演算子を特徴関数生成子として用い、$ \widehat{M}(\tau,\theta) = e^{i(\tau\hat{p} + \theta\hat{x})} $ とし、その期待値から特徴関数が得られることを示す。
• フーリエ変換を用いてWigner関数を導出：$ F_\psi(p,x,t) = \frac{1}{2\pi} \int \psi^*(x - \tau/2, t) e^{-ip\tau} \psi(x + \tau/2, t) d\tau $ とし、これが位相空間分布として特定されることを示す。
• この分布がWeyl表現における密度行列と数学的に同一であることを示し、それが完全な量子的対象としての地位を確認すること。
• モーヤル括弧形式を用いて量子ハミルトニアン＝ヤコビ方程式を導出し、量子ポテンシャルを介してド・ブロイ＝ボーム的アプローチと関連づける。
• シンプレクティック幾何学とグロモフの「圧縮不可能定理」を用いて、「量子ブロブ」をサイズ ℏ の最小位相空間構造として解釈する。
• ℏ → 0 の極限において古典力学が自然に現れることを示し、デコherenceを仮定する必要がないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モーヤルの位相空間形式が、フォン・ノイマンの1931年の代数的量子形式主義と数学的に同型であるのはなぜか？
• RQ2 Wigner関数は、量子状態と非局所性の観点からどのように物理的に解釈できるか？
• RQ3 位相空間の外見があるにもかかわらず、なぜモーヤルのアプローチは古典力学に還元されないのか？
• RQ4 非可換シンプレクティック構造は、どのようにして量子的および古典的振る舞いの両方を規定するのか？
• RQ5 モーヤル代数は、波動関数を優先しない量子力学の基礎を提供できるか？

主な発見

• モーヤルの特徴関数は、フォン・ノイマンが1931年にすでに使用していたが名前を付けていなかったヘイゼンベルク＝ワイル演算子の期待値と同型である。
• Wigner関数 $ F_\psi(p,x,t) $ は、Weyl表現における密度行列と数学的に同一であり、それが完全な量子的対象としての地位を確認する。
• 粒子は点粒子ではなく、位相空間において拡張された「量子ブロブ」として記述され、$ (x,p) $ は非局所的構造の平均位置と運動量を表す。
• モーヤル＝フォン・ノイマン代数は自然に量子ハミルトニアン＝ヤコビ方程式を生じさせ、量子ポテンシャルを介してド・ブロイ＝ボーム解釈と関連づける。
• ℏ → 0 の極限において古典力学が自然に現れ、デコherenceを導入することなく、モーヤル形式が量子力学と古典力学を統合していることを示す。
• グロモフの「圧縮不可能定理」によって裏付けられる非可換シンプレクティック構造は、サイズが ℏ のオーダーの最小位相空間体積を強制し、不確定性原理を反映している。