[論文レビュー] On the reliable long-term simulation of chaos of Lorenz equation in the interval [0,10000]

Shijun Liao, Peifeng Wang|arXiv (Cornell University)|May 18, 2013

Model Reduction and Neural Networks被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、TH-A1スパークコンピュータの1200コアを用い、4180桁の精度を伴う3500次ラジアル級数法を用いて、[0,10000]の区間でローレンツカオス系の数学的に信頼できる長期シミュレーションを実現した。このシミュレーションは、前例のない区間で数値的信頼性を達成したが、微小な不確実性が熱揺らぎによってマクロな乖離にまで拡大されることから、このような予測が物理的意味を持たない可能性があると示唆している。

ABSTRACT

Using 1200 CPUs of the National Supercomputer TH-A1 and a parallel integral algorithm based on the 3500th-order Taylor expansion and the 4180-digit multiple precision data, we have done a reliable simulation of chaotic solution of Lorenz equation in a rather long interval [0,10000] (Lorenz time unit). Such a kind of mathematically reliable chaotic simulation has never been reported. It provides us a numerical benchmark for mathematically reliable long-term prediction of chaos. Besides, it also proposes a safe method for mathematically reliable simulations of chaos in a finite but long enough interval. In addition, our very fine simulations suggest that such a kind of mathematically reliable long-term prediction of chaotic solution might have no physical meanings, because the inherent physical micro-level uncertainty due to thermal fluctuation might quickly transfer into macroscopic uncertainty so that trajectories for a long enough time would be essentially uncertain in physics.

研究の動機と目的

• 長期間にわたり、拡張された区間でローレンツ方程式のカオス的解の数学的に信頼できる長期シミュレーションを達成すること。
• 決定的系におけるカオスの長期的予測のための数値ベンチマークを確立すること。
• 数学的に信頼できるこのようなシミュレーションが、内在する熱揺らぎの影響を受けるにあたり、物理的意味を保つのかを調査すること。
• 有限だが長期間にわたり、カオス的システムを安全かつ高精度にシミュレートする計算フレームワークを開発すること。

提案手法

• ローレンツ方程式の数値積分に、3500次ラジアル展開に基づく並列積分アルゴリズムを採用した。
• 長期間積分における切り捨て誤差と丸め誤差を最小限に抑えるために、4180桁の多重精度算術を用いた。
• 高い計算スループットを達成するため、国立スーパーコンピュータTH-A1の1200コアでシミュレーションを実行した。
• 高次ラジアル級数と高精度算術による局所誤差およびグローバル誤差の制御を通じて、数学的信頼性を確保した。
• 複数の精度レベルおよび計算ランの間で一貫性を検証することで、シミュレーションの信頼性を検証した。
• 高次ラジアル法におけるステップサイズ制御および誤差推定に、ローレンツ系の構造を活用した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3500次ラジアル展開と4180桁の精度を用いて、[0,10000]という長期間にわたり、ローレンツ系の数学的に信頼できるシミュレーションを達成できるか？
• RQ2 このような長期間にわたり、数値的信頼性を維持するために必要な計算技術は何か？
• RQ3 数学的に信頼できる長期軌道が存在することは、カオス的系における物理的予測可能性を示唆するのか？
• RQ4 微小レベルでの熱揺らぎが、長期的決定的シミュレーションの物理的関連性をどの程度制限するのか？

主な発見

• 3500次ラジアル展開と4180桁の精度を用いることで、[0,10000]の区間で数学的に信頼できるシミュレーションが達成された。これは文献上、初の事例である。
• TH-A1スパークコンピュータの1200コアを用いることで、このような高精度かつ長期にわたるシミュレーションの計算が可能になった。
• 十分な精度と並列処理が確保されれば、カオスの数学的に信頼できる長期的予測が計算的に実現可能であることが示された。
• 数学的信頼性は達成されたが、本研究は、微小な熱揺らぎがマクロな不確実性に急速に拡大されることを踏まえ、このようなシミュレーションが物理的意味を持たない可能性があると示唆している。
• 決定的カオスが信頼性を持ってシミュレート可能であっても、十分に長い時間スケールでは物理的システムが根本的に予測不能である可能性があることを示唆している。
• 本研究は、信頼できるカオス的シミュレーションの新しいベンチマークを確立し、カオス的システムにおける数学的予測と物理的予測の間のギャップを浮き彫りにした。