[論文レビュー] On the renormalized volumes for conformally compact Einstein manifolds

Alice Chang, Jie Qing+1 more|ArXiv.org|Dec 15, 2005

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 5被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、Q曲率と散乱理論を通じて、共形的コンパクト化されたアインシュタイン多様体の正規化体積と共形不変量との間に深い関係を確立する。偶数次元多様体に対してはチェーン＝ガウス＝ボンネ型の公式を導出し、奇数次元における正規化体積がQ曲率の共形原始関数であることを示し、散乱作用素がグローバルな幾何的データを提供することを明らかにする。

ABSTRACT

We study the renormalized volume of a conformally compact Einstein manifold. In even dimensions, we derive the analogue of the Chern-Gauss-Bonnet formula incorporating the renormalized volume. When the dimension is odd, we relate the renormalized volume to the conformal primitive of the $Q$-curvature. We show how all the global information come from the Scattering.

研究の動機と目的

• 3次元における[FG-2]で定義されたQ曲率と[ CQ ]で以前に導入された概念との関係を明確化すること。
• [FG-2]で得られた特別な発散関数を用いて、共形的コンパクト化されたアインシュタイン4次元多様体におけるアンダーソンのチェーン＝ガウス＝ボンネ公式の新しい証明を提供すること。
• 正規化体積を含むチェーン＝ガウス＝ボンネ公式を、すべての偶数次元の共形的コンパクト化されたアインシュタイン多様体へ一般化すること。
• 奇数次元における正規化体積が境界の共形構造の共形不変量であることを示すこと。
• 散乱データを用いて、奇数次元における正規化体積をQ曲率の共形原始関数として表現すること。

提案手法

• 偶数次元におけるQ曲率の計算を簡略化するために、[FG-2]の特別な発散関数を用いる。
• スレート作用素とそのスペクトルゼータ関数を用いて、s=nにおけるゼータ関数の留数を用いて正規化体積を定義する。
• パネイッツ作用素とその共形変換法則を用いて、共形変換下でのQ曲率の変動を分析する。
• 境界付近における体積形式の漸近展開を用いて、正規化体積を有限定数項として分離する。
• Q曲率に関するアレクサキスの最近の結果を応用し、チェーン＝ガウス＝ボンネ公式をすべての偶数次元へ拡張する。
• パネイッツ作用素と散乱作用素の自己共役性に依拠し、正規化体積の変動公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 散乱理論を用いて定義された[FG-2]のQ曲率は、3次元多様体において[CQ]のQ曲率とどのように関係しているか？
• RQ2 [FG-2]の特別な発散関数を用いて、共形的コンパクト化されたアインシュタイン4次元多様体におけるチェーン＝ガウス＝ボンネ公式を再導出できるか？
• RQ3 偶数次元における正規化体積は、一般化されたチェーン＝ガウス＝ボンネ公式を通じて共形不変量として表現可能か？
• RQ4 奇数次元における正規化体積はQ曲率の共形原始関数として機能するか？
• RQ5 奇数次元の共形的コンパクト化されたアインシュタイン多様体において、正規化体積は散乱行列データの形で表現可能か？

主な発見

• 本稿は、[FG-2]の特別な発散関数を用いて、共形的コンパクト化されたアインシュタイン4次元多様体におけるアンダーソンのチェーン＝ガウス＝ボンネ公式の新しい証明を提供し、Q曲率の計算を簡略化する。
• すべての偶数次元の共形的コンパクト化されたアインシュタイン多様体に対して、正規化体積を含む一般化されたチェーン＝ガウス＝ボンネ公式が確立され、以前の結果が拡張される。
• 奇数次元における正規化体積が、定義関数の選択に依存しない境界の共形構造の共形不変量であることが示される。
• 奇数次元の共形的コンパクト化されたアインシュタイン多様体に対して、正規化体積は境界上でのQ曲率の積分に等しく、Q曲率の共形原始関数としての性質が確認される。
• 奇数次元における正規化体積は、散乱作用素の留数を用いて表現され、グローバル幾何とスペクトルデータを結びつける。
• 境界計量の共形変換における正規化体積の変動公式は、パネイッツ作用素とQ曲率を含み、その共形性が裏付けられる。