[論文レビュー] On the representation dimension of artin algebras

Claus Michael Ringel|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用数 34

ひとこと要約

本稿では、二部クーヴァーのパス代数の表現無限な $ n $ 個のテンソル積の表現次元がちょうど $ n+2 $ であることを確立し、任意の torsionless-有限アートン代数が表現次元 3 以下であることを証明する。この結果は、生成子-余生成子の自己準同型環の解析と、表現次元におけるテンソル積の整合性を活用することで得られ、既知の上限を拡張し、高い表現次元を持つ明示的な例を構成する。

ABSTRACT

The representation dimension of an artin algebra as introduced by M.Auslander in his Queen Mary Notes is the minimal possible global dimension of the endomorphism ring of a generator-cogenerator. The paper is based on two texts written in 2008 in connection with a workshop at Bielefeld. The first part presents a full proof that any torsionless-finite artin algebra has representation dimension at most 3, and provides a long list of classes of algebras which are torsionless-finite. In the second part we show that the representation dimension is adjusted very well to forming tensor products of algebras. In this way one obtains a wealth of examples of artin algebras with large representation dimension. In particular, we show: The tensor product of n representation-infinite path algebras of bipartite quivers has representation dimension precisely n+2.

研究の動機と目的

• 二部クーヴァーのパス代数のテンソル積の正確な表現次元を特定すること。
• すべての torsionless-有限アートン代数が表現次元 3 以下であることを確立すること。
• 表現次元がテンソル積に関してうまく振る舞うことを示し、大きな表現次元を持つ代数の構成を可能にすること。
• torsionless 加群とアウスラーディレクターを用いた、有界な表現次元を示す一般枠組みを提供すること。
• アートン代数の表現次元の有限性および上界に関する未解決問題を解決すること。

提案手法

• アウスラーディレクターの特徴づけと、非可約 torsionless 加群と可除加群の間の双対性を用いて、任意の torsionless-有限アートン代数が表現次元 3 以下であることを証明する。
• torsionless 加群の因子カテゴリ（射影加群で割ったもの）とその反対代数に対する同様のカテゴリとの双対性を適用する。
• 二重射影加群の係数クーヴァーが連結であることを利用し、すべての極小部分加群を固定する自己準同型はスカラー倍に限ることを保証する。
• テンソル積と整合する下界評価のラティス基準を適用し、鋭い境界を確立する。
• 二部クーヴァーのパス代数のテンソル積による明示的例を構成し、ホモロジー的条件と係数クーヴァー内の写像の単射性を用いて、表現次元がちょうど $ n+2 $ であることを検証する。
• オッパーマンとシーの部分加法性および下界に関する結果を活用し、テンソル積の正確な値を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表現無限な二部クーヴァーのパス代数の $ n $ 個のテンソル積の正確な表現次元は何か？
• RQ2 表現次元は 3 を超える可能性があるか？ もしそうなら、どのような条件下で？
• RQ3 すべてのアートン代数が有限な表現次元を持つのか？ また、特定のクラスでは一様に上界が与えられるか？
• RQ4 代数のテンソル積において表現次元はどのように振る舞うか？
• RQ5 パス代数のテンソル積によって構成された代数の表現次元は正確に特定できるか？

主な発見

• 表現無限な二部クーヴァーのパス代数の $ n $ 個のテンソル積の表現次元は、定理 9.1 および推論 9.4 で示されるように、ちょうど $ n+2 $ である。
• 任意の torsionless-有限アートン代数は表現次元 3 以下であり、既知の表現有限や他のクラスの結果を一般化する。
• 表現次元はテンソル積と整合する：$ \text{repdim}(\tilde{\rho}) \to \text{repdim}(\rho) $ ならば $ \text{repdim}(\rho \times \tilde{\rho}) \to \text{repdim}(\rho) + \text{repdim}(\tilde{\rho}) $ であり、大きな表現次元を持つ代数の構成を可能にする。
• 二重射影加群 $ {}_2P(x) $ の係数クーヴァーは連結である。これは、すべての極小部分加群を零にする自己準同型がゼロでなければならないことを保証し、表現次元の条件を検証する上で重要なステップである。
• クラッケル代数の特別な場合において、2 つのコピーのテンソル積の表現次元は 4 であり、$ n=2 $ の一般式 $ n+2 $ を確認する。
• 被覆理論を用いて一般の場合に拡張し、矢印が複数あるクーヴァーに対しても境界が成り立つことを示した。