[論文レビュー] On the representation of an integrated Gauss-Markov process

Mario Abundo|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2013

Simulation Techniques and Applications参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ガウス・マルコフ過程の積分を時間変換付きブラウン運動として表現し、その分布の明示的計算と初到達時間解析を可能にする。主な結果は、積分過程 $ Y(T) = \int_0^T X(s)\,ds $ が平均 $ M(T) $ と分散 $ \gamma_1(\rho(T)) $ の正規分布に従い、$ \gamma_1(\infty) = \infty $ のとき、$ M(T) + \widehat{B}(\gamma_1(\rho(T))) $ に等しくなることである。ここで $ \widehat{B} $ は標準ブラウン運動である。

ABSTRACT

We find a representation of the integral of a Gauss-Markov process in the interval [0, t], in terms of Brownian motion. Moreover, some connections with first-passagetime problems are discussed, and some examples are reported.

研究の動機と目的

• ガウス・マルコフ過程の積分をブラウン運動の観点から明示的に表現すること。
• 積分されたガウス・マルコフ過程の初到達時間問題の解析を可能にすること。
• 積分ブラウン運動に関する先行結果を、より広範なガウス・マルコフ過程のクラスへ一般化すること。
• 神経活動、キューイング、経済学などの応用分野における時間平均過程の分布を計算するための枠組みを提供すること。

提案手法

• イトの公式を用いて、積分 $ \int_0^t f(s)B(s)\,ds $ をブラウン運動に関するストラスコフ積分として表現すること。
• ダムビス・デュビン＝シュバルツの定理を適用し、二次変動が発散する場合に積分を時間変換付きブラウン運動として表現すること。
• ガウス・マルコフ過程 $ X(t) = m(t) + h_2(t)B(\rho(t)) $ を $ B(\rho(s)) $ を含む積分に変換し、その後 $ \rho^{-1} $ を用いた測度変換を行うこと。
• 分散関数 $ \gamma_1(t) = \int_0^t (R_1(t) - R_1(s))^2\,ds $ の導出、ここで $ R_1(t) = \int_0^t h_2(\rho^{-1}(s))/\rho'(\rho^{-1}(s))\,ds $ である。
• 積分過程 $ Y(T) $ が時間変換付きブラウン運動として分布することを保証する条件の確立。
• 逆時間変換の確定的エナメルを用いた境界を導出し、ランダムな二次変動を有する一般化ガウス・マルコフ過程への拡張。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウス・マルコフ過程の積分は、時間変換付きブラウン運動として表現可能か？
• RQ2 積分過程 $ Y(T) = \int_0^T X(s)\,ds $ が既知の分散関数を持つ正規分布に従うのはどのような条件下か？
• RQ3 積分過程 $ Y(T) $ の初到達時間問題は、どのように標準ブラウン運動の初到達時間問題に還元できるか？
• RQ4 ガウス・マルコフ過程における時間平均過程 $ \overline{X}_T = \frac{1}{T} \int_0^T X(s)\,ds $ の分布は何か？
• RQ5 プロセスの二次変動がランダムである場合、積分の分布はどのように境界づけられるか？

主な発見

• ガウス・マルコフ過程 $ X(t) $ の積分 $ Y(T) = \int_0^T X(s)\,ds $ は、平均 $ M(T) = \int_0^T m(s)\,ds $ と分散 $ \gamma_1(\rho(T)) $ の正規分布に従い、ここで $ \gamma_1(t) = \int_0^t (R_1(t) - R_1(s))^2\,ds $ かつ $ R_1(t) = \int_0^t h_2(\rho^{-1}(s))/\rho'(\rho^{-1}(s))\,ds $ である。
• $ \gamma_1(+\infty) = +\infty $ のとき、プロセス $ Y(T) $ は標準ブラウン運動 $ \widehat{B} $ を用いて $ M(T) + \widehat{B}(\gamma_1(\rho(T))) $ に等しくなる。これにより、時間変換付きブラウン運動としての表現が確立される。
• ドリフト付きブラウン運動 $ X(t) = \mu t + B(t) $ の場合、積分 $ Y(T) $ の分散は $ T^3/3 $ であり、$ \overline{X}_T \sim \mathcal{N}(0, T/3) $ である。
• オーナイシュタイン＝ウーレンバック過程の場合、$ Y(T) $ の分散は $ \gamma_1(\rho(T)) = \frac{\sigma^2 T}{\mu^2(\sigma^2 + 2\mu T)} - \frac{2\sigma^2}{\mu^3\sqrt{1 + 2\mu T/\sigma^2}}\left(\sqrt{1 + 2\mu T/\sigma^2} - 1\right) + \frac{\sigma^2}{2\mu^3}\ln\left(1 + 2\mu T/\sigma^2\right) $ で与えられる。
• ブラウンブリッジの場合、分散 $ \gamma_1(\rho(T)) $ は $ \int_0^T \left( \frac{T^3 t (2 + T t)}{2(1 + T t)^2} - \frac{T^3 s (2 + T s)}{2(1 + T s)^2} \right)^2 ds $ で与えられ、$ \gamma_1(\infty) = \infty $ であるため、時間変換表現が成立する。
• ランダムな二次変動を有する一般化ガウス・マルコフ過程の場合、積分 $ \int_0^T X(s)\,ds $ は平均 $ M(T) $ の正規分布に従い、分散は $ \gamma_1(\alpha(T)) $ と $ \gamma_1(\beta(T)) $ の間で境界づけられる。ここで $ \alpha(t) \leq \rho(t) \leq \beta(t) $ である。