[論文レビュー] On the representation of finite distributive lattices

Mark Siggers|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2014

Advanced Algebra and Logic参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、鎖の直積の部分ラティスと、結合的不可約元から導かれる標準的構造の spanned 前順序拡張の間の一対一対応を確立し、前順序の非対称性によってタイトな部分ラティスを特徴づけている。これは、結合的不可約元の鎖分解と、鎖の直積への埋め込みを結びつけることで、分配的ラティス埋め込みに関する古典的結果を拡張するものである。

ABSTRACT

A simple but elegant result of Rival states that every sublattice $L$ of a finite distributive lattice $\mathcal{P}$ can be constructed from $\mathcal{P}$ by removing a particular family $\mathcal{I}_L$ of its irreducible intervals. Applying this in the case that $\mathcal{P}$ is a product of a finite set $\mathcal{C}$ of chains, we get a one-to-one correspondence $L \mapsto \mathcal{D}_\mathcal{P}(L)$ between the sublattices of $\mathcal{P}$ and the preorders spanned by a canonical sublattice $\mathcal{C}^\infty$ of $\mathcal{P}$. We then show that $L$ is a tight sublattice of the product of chains $\mathcal{P}$ if and only if $\mathcal{D}_\mathcal{P}(L)$ is asymmetric. This yields a one-to-one correspondence between the tight sublattices of $\mathcal{P}$ and the posets spanned by its poset $J(\mathcal{P})$ of non-zero join-irreducible elements. With this we recover and extend, among other classical results, the correspondence derived from results of Birkhoff and Dilworth, between the tight embeddings of a finite distributive lattice $L$ into products of chains, and the chain decompositions of its poset $J(L)$ of non-zero join-irreducible elements.

研究の動機と目的

• 有限鎖の直積のすべての部分ラティスを特徴づけること、特にタイトな埋め込みにとどまらないこと。
• 結合的不可約元の鎖分解とタイトな埋め込みの間の古典的ビーカー＝ディルワース対応を一般化すること。
• 鎖の直積から導かれる標準的構造の前順序拡張を用いた、有限分配的ラティスの体系的表現フレームワークを提供すること。
• 新しい対応枠組みを用いて、 Koh が分配的ラティスを最大反鎖のラティスとして構成する方法を回復・拡張すること。

提案手法

• 有限分配的ラティスの部分ラティスが無駄な区間の除去から生じることを示した Rival の結果を、鎖の直積に適用する。
• 結合的不可約元に零元と単位元を追加して得られる標準的構造 $\cC^{\infty}$ を導入する。
• 各部分ラティス $L$ に対して、$J(\cP)$ を拡張する前順序 $D_{\cP}(L)$ を割り当てる写像 $L \mapsto D_{\cP}(L)$ を定義し、$D_{\cP}(L)$ が反射的かつ推移的であることを示す。
• $D_{\cP}(L)$ が非対称（つまり偏順序）である部分ラティスをタイトな部分ラティスと特徴づけ、このとき $D_{\cP}(L)\restriction_{J(\cP)} \cong J(L)$ が成り立つことを示す。
• 前順序拡張から有向グラフ $A_{\cP}(L)$ への双対的構成 $K_{\cP}$ を導入し、$A_{\cP}(L)$ が部分ラティス $L$ を最大反鎖を用いて表現することを示す。
• 部分ラティス $L$ と、非反射的かつ推移的な有向グラフ $A_{\cP}(L)$ の間に対応関係を確立し、サイクルの欠如が部分直接的ラティスを特徴づけることとする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 鎖の直積 $\cP$ のすべての部分ラティスを体系的に特徴づける方法は何か？
• RQ2 部分ラティス $L$ の構造と、その結合的不可約元から導かれる前順序 $D_{\cP}(L)$ の間の明確な関係は何か？
• RQ3 鎖の直積 $\cP$ のタイトな部分ラティスは、$J(\cP)$ の偏順序拡張とどのように対応するのか？ そして、より広い部分ラティスのクラスの中で、それらはどのように特徴づけられるか？
• RQ4 Koh が分配的ラティスを最大反鎖のラティスとして構成する方法は、前順序に基づく枠組みから自然に導けるか？
• RQ5 $A_{\cP}(L)$ の有向グラフに課される条件は、部分ラティスが部分直接的または $\{\mathbf{0},\boldsymbol{\infty}\}$-部分ラティスであることにどのように関係するか？

主な発見

• 鎖の直積 $\cP$ の部分ラティス $L$ と、$J(\cP)$ から作られる標準的構造 $\cC^{\infty}$ の spanned 前順序拡張の間には一対一対応が存在する。
• 鎖の直積 $\cP$ のタイトな部分ラティスは、$D_{\cP}(L)$ が非対称（すなわち偏順序）であるものとして特徴づけられ、このとき $D_{\cP}(L)\restriction_{J(\cP)} \cong J(L)$ が成り立つ。
• $K_{\cP}$ の構成により、前順序拡張 $D$ から有向グラフ $A_{\cP}(L)$ が得られ、$D$ が推移的で $\cI$ が閉じているとき、$A_{\cP}(L)$ は推移的である。
• 部分ラティス $L$ が部分直接的であることと、$A_{\cP}(L)$ が非反射的であること（すなわち、サイクルのないこと）は同値である。
• 任意の偏順序 $P$ について $\cA_{\rm{m}}(P) \cong L$ が成り立つならば、$P = A_{\cP}^{r}(L)$（$A_{\cP}(L)$ の反射的版）となるような $L$ の $\cP$ への部分直接的埋め込みが存在する。
• $K_{\cP}$ の構成は、Koh の分配的ラティスを最大反鎖のラティスとして表現する方法を一般化しており、主な差異は一般性を確保するため、有向グラフ表現でループを保存することにある。