[論文レビュー] On the representation of the number of integral points of an elliptic curve modulo a prime number

Michael Th. Rassias|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 13被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、ベルヌーイ数およびリーマンゼータ関数から導かれる有理関数を用いて、素数 $p$ を法とする楕円曲線上の整数点の数を表すための新しい解析的手法を提示する。指数和 $e^{-2\pi i f(x)/p}$ を $S(x)$ を含む有理関数として表現することで、$f(x)/p$ の分数部分に制限された条件下で、$N_p$（曲線上の点の数）の明示的で指数関数を含まない公式が得られる。主な貢献は、指数和の直接計算を避ける新しい $N_p$ の表現である。

ABSTRACT

In this paper we shall investigate the problem of the representation of the number of integral points of an elliptic curve modulo a prime number p. We present a way of expressing an exponential sum which involves polynomials of third degree, in explicit non-exponential terms. In the process, we present explicit formulas for the calculation of some series involving the Riemann Zeta function.

研究の動機と目的

• 素数 $p$ を法とする楕円曲線上の整数点の数の解析的表現を開発すること。
• 複素指数関数ではなく有理関数を用いて、和 $\sum_{x,y} e^{2\pi i F(x,y)/p}$ を表現すること。
• ベルヌーイ数およびリーマンゼータ関数を用いて、指数和の直接評価を避ける $N_p$ の公式を導出すること。
• 楕円曲線の点数を数えるためのシューフォルトのアルゴリズムの計算的に実行可能な代替手法を提供すること。

提案手法

• ベルヌーイ数の母関数を用いて、$e^{-2\pi i f(x)/p}$ の展開を導出する。
• 指数和の近似に用いる級数 $S(x) = \sum_{n \text{ odd}} \zeta(n+1) \tilde{f}(x)^{n+1} / p^n$ を導入する。
• 指数和を、$S(x)$ および $\tilde{f}(x)$ の有理関数 $Q(x)$ と $R(x)$ を用いて $Q(x) + iR(x)$ の形に表現する。
• $x$ に関する和を、$|f(x)/p| < 1$ と $|f(x)/p| \geq 1$ の2つの部分に分割し、分数部分 $r(x,p)$ を用いる。
• 2番目の部分については、$e^{-2\pi i f(x)/p}$ を $e^{-2\pi i r(x,p)}$ として再表現し、$r(x,p)$ に対しても同様の有理関数近似を適用する。
• リーマンゼータ関数の関数等式およびガンマ関数の性質を用いて、$\zeta(-n)$ と $\zeta(n+1)$ を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 和 $\sum_{x,y} e^{2\pi i (y^2 - x^3 - ax - b)/p}$ を、複素指数関数ではなく有理関数で表現できるか？
• RQ2 有限体 $\mathbb{F}_p$ 上の楕円曲線の点数 $N_p$ を、$x,y$ 全体にわたる和を完全に計算せずに表現できるか？
• RQ3 分数部分 $\{f(x)/p\}$ は指数和の構造において果たす役割は何か？
• RQ4 $\zeta(n+1)$ を含む級数 $S(x)$ を用いて、$|f(x)| < p$ の範囲で $e^{-2\pi i f(x)/p}$ を高精度に近似できるか？
• RQ5 大きな $p$ に対して、$N_p$ の表現を計算的に実行可能にするにはどうすればよいか？

主な発見

• 本稿では、$Q$ と $R$ が $S(x)$ および $\tilde{f}(x)$ の有理関数であるとして、$N_p = 1 + \frac{1}{p} \sum_{m=0}^{p-1} \sum_{y=0}^{p-1} e^{2\pi i m y^2 / p} \left( \sum_{x=0}^L (Q(x) + iR(x))^m + \sum_{x=L+1}^{p-1} (Q_1(x) + iR_1(x))^m \right)$ という $N_p$ の新しい公式を導出する。
• 級数 $S(x) = \sum_{n \text{ odd}} \zeta(n+1) \tilde{f}(x)^{n+1} / p^n$ は絶対収束し、指数和の良好な近似を与える。
• 関数 $W(r) = \sum_{n \text{ odd}} \zeta(n+1) r^{n+1}$ は、$W(r) = \frac{1}{2} r \left( \frac{2r}{1 - r^2} + (r - 1)A_2(r) + (r + 1)B_2(r) \right)$ として閉形式で表現され、ここで $A_2(r)$ および $B_2(r)$ は調和数に類似した項を含む級数である。
• 本稿では、$\sum_{x=0}^{p-1} Q(x) = 0$ および $\sum_{x=0}^{p-1} R(x) = 0$ を証明し、恒等式 $p = \sum_{x=0}^{p-1} \frac{2\pi^2 x^2}{(p - 2S(x))^2 + (\pi x)^2}$ を得る。
• 分数部分 $\{f(x)/p\}$ の下界として、$\{f(x)/p\} \geq \frac{f(x)}{p} - \frac{1}{p} \left( \sum_{m=0}^{\lfloor p/2 \rfloor} \min(p/m, f(x)) + \sum_{m=\lfloor p/2 \rfloor + 1}^{p-1} \min(1/(1 - m/p), f(x)) \right)$ が確立される。
• 本手法により、指数和の完全な評価を避けることで、$S(x)$ および $W(r)$ を用いた有理関数近似に置き換えることにより、$N_p$ の計算が可能になる。