[論文レビュー] On the resolution of extremal and constant scalar curvature Kaehler orbifolds

Claudio Arezzo, Riccardo Lena+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、孤立した商特異点をもつコンpactな極小Kähler特異点を持つKähler軌道体の解体において、局所的なALE解体がスカラー平坦かつKählerである限り、極小Kähler計量の存在を確立する。十分に小さな吹き上げパラメータの下で、解体が $\tilde{T}$-不変な極小計量を有することを証明し、さらに、ALE計量の漸近展開における先頭係数 $e(\Gamma_j)$ が消える場合に、解体が定数スカラー曲率Kähler（cscK）計量を有するための正確なバランス条件を同定する。

ABSTRACT

In this paper we give sufficient conditions on a compact orbifold with an extremal Kaehler metric to admit a resolution with an extremal Kaehler metric. We also complete the Kaehler constant scalar curvature case.

研究の動機と目的

• 孤立した商特異点をもつコンパクトな極小Kähler軌道体を、特異点近傍をスカラー平坦なALE Kähler解体で置き換えることによって解体すること。
• 得られた解体が定数スカラー曲率Kähler（cscK）計量を有する条件を特定することにより、滑らかな吹き上げから軌道体解体への既知の結果を拡張すること。
• このような解体における極小およびcscK計量の存在に対する完全な障害理論を確立し、局所モデルの幾何に依存する必要十分条件を同定すること。
• ALE計量の漸近的解析と幾何的パrameterの調整を用いた、軌道体における極小計量のグリューニングの一般枠組みを提供すること。

提案手法

• 摂動的技法を用いて、元の軌道体計量と局所ALE計量をグリューニングし、解体上に $\tilde{T}$-不変なKählerポテンシャルを構成する。
• 特に先頭係数 $e(\Gamma_j)$ と $c(\Gamma_j)$ を含む、ALE計量の無限遠における漸近展開を用いて、曲率およびスカラー曲率の振る舞いを分析する。
• スカラー曲率方程式における障害をキャンセルするため、解体のパrameter（例：$\tilde{b}_j$, $C_j$, $\tilde{a}_l$）に「調整条件」を課す。
• 文献[3]および[20]における標準的なグリューニング手順の修正版を用い、軌道体特異点および非自明な正則ベクトル場に適応する。
• ポテンシャルを内側および外側の部分に分解し、欠損空間への射影を用いてスカラー曲率方程式における誤差項を制御する。
• 極限 $\varepsilon \to 0$ をとることで、$e(\Gamma_j)$ が消える場合の $b_j$ と $c_j$ 間の正確な関係を導出するバランス条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 孤立した商特異点をもつコンパクトな極小Kähler軌道体が、グローバルに極小Kähler解体をもつ条件は何か？
• RQ2 定数スカラー曲率Kähler（cscK）計量をもつ軌道体計量の解体が、さらにcscK計量をもつのはいつか？
• RQ3 ALE解体の漸近係数 $e(\Gamma_j)$ と $c(\Gamma_j)$ は、グローバル解体におけるcscK計量の存在にどのように影響するか？
• RQ4 極小ベクトル場および最大トーラス $T$ は、解体上での不変極小計量の構成において果たす役割は何か？
• RQ5 cscK計量のためのバランス条件を、群 $\Gamma_j$ に関して代数的または幾何的に特徴づけることができるか？

主な発見

• 任意の孤立した商特異点をもつコンパクトな極小Kähler軌道体およびスカラー平坦なALE Kähler解体に対して、十分に小さな $\varepsilon$ に対して、解体上に $\tilde{T}$-不変な極小Kähler計量が存在する。
• 解体上にcscK計量が存在することは、ALE計量の漸近展開における先頭係数 $e(\Gamma_j)$ の消滅と同値であることが、定理5.1で示された。
• cscK条件を満たすために満たされなければならない、$b_j$ と $c_j$ 間の正確なバランス条件が導出された：$c_j = b_j\left[\frac{1}{m}s_{\omega}\left(1+\frac{(m-1)^2}{m+1}\right)-\frac{\mathtt{c}_{4,j}}{2(m-1)|\mathbb{S}^{2m-1}|}\right]$。
• パrameter $\tilde{b}_j$, $C_j$, および $\tilde{a}_l$ のための調整条件が明示的に導出され、$\varepsilon \to 0$ の極限において解が存在することを示し、スカラー曲率方程式の解の存在を保証する。
• この方法により、軌道体設定における極小問題の障害なし（unobstructedness）が確認され、滑らかな吹き上げからの結果を特異な軌道体とALE解体へと一般化する。
• 本稿は、局所ALEモデルの幾何に明示的な依存関係をもつ、軌道体解体におけるcscK計量の構成のための初の一般枠組みを提供する。