[論文レビュー] On the restriction of Zuckerman's derived functor modules A_q(\lambda) to reductive subgroups

Yoshiki Oshima|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、実再帰的リー群の対称対における再帰的部分群への制限に関して、Zuckermanの導来函手モジュール $A_q(\lambda)$ の分岐則を確立する。複素部分旗多様体上の D-加群実現を用いて、$A_q(\lambda)$ から部分群上の $A_{q''}(\lambda')$ モジュールの直和への単射 $(g', K')$-準同型を構成し、各既約成分がそのような導来函手モジュールの部分モジュールに同型であることを証明する。主な結果は、$A_q(\lambda)$ の射影された関連多様体と、制限における任意の既約成分の関連多様体が等しいこと、すなわち、離散的分解可能性の場合の関連多様体に関する予想を確認することにある。

ABSTRACT

In this article, we study the restriction of Zuckerman's derived functor (g,K)-modules A_q(\lambda) to g' for symmetric pairs of reductive Lie algebras (g,g'). When the restriction decomposes into irreducible (g',K')-modules, we give an upper bound for the branching law. In particular, we prove that each (g',K')-module occurring in the restriction is isomorphic to a submodule of A_q'(\lambda') for a parabolic subalgebra q' of g', and determine their associated varieties. For the proof, we construct A_q(\lambda) on complex partial flag varieties by using D-modules.

研究の動機と目的

• 対称対における再帰的部分群への制限された Zuckerman の導来函手モジュール $A_q(\lambda)$ の分岐則を特定すること。
• 制限 $A_q(\lambda)|_{(g', K')}$ における既約 $(g', K')$-モジュールの重複度に対する上界を確立すること。
• 制限における既約成分の関連多様体を特徴づけること、特に分解における既約 $V$ に対して $\mathrm{pr}_{g\to g'}(\mathrm{Ass}_g(A_q(\lambda))) = \mathrm{Ass}_{g'}(V)$ の等式を検証すること。
• 複素部分旗多様体上の $A_q(\lambda)$ の D-加群実現を用いて、非コンパクト部分群への一般化された Blattner 公式を拡張すること。

提案手法

• コhomological induction の枠組みを用いて、複素部分旗多様体上のねじれ D-加群の全体切断として $A_q(\lambda)$ を実現する。
• 明示的な放物型部分代数 $q''$ と重複度関数 $m(\lambda', p)$ を用いて、$A_q(\lambda)$ から部分群 $g'$ 上の $A_{q''}(\lambda')$ モジュールの直和への単射 $(g', K')$-準同型を構成する。
• Borel–Weil 定理と D-加群の押し出しを用いて、旗多様体上の全体切断と既約表現を関連付ける。
• Mackey 同型と導来函手の性質を用いて、$A_q(\lambda)$ と $A_q(\lambda + 2N\rho(u))$ を $N$ が十分に大きい場合に比較し、関連多様体理論と整合性を保つ。
• Kobayashi の離散的分解可能性の基準を用いて、$g'$ の関連放物型部分代数 $q''$ を定義する。
• 旗多様体上の密度および閉性の議論を用いて、$\mathrm{pr}_{g\to g'}(\mathrm{Ad}(K)(\bar{u} \cap p)) = \mathrm{Ad}(K')(u'' \cap p')$ を示し、射影された多様体と関連多様体の等値を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的部分群 $g'$ への $A_q(\lambda)$ の制限が、既約 $(g', K')$-モジュールに分解する条件は何か？
• RQ2 制限が離散的分解可能である場合に、$A_q(\lambda)|_{(g', K')}$ の分岐則の正確な構造は何か？
• RQ3 制限における既約成分の関連多様体は、$A_q(\lambda)$ の関連多様体とどのように関係しているか？
• RQ4 コンパクト部分群への制限における一般化された Blattner 公式を、D-加群技法を用いて非コンパクトな対称部分群へ拡張できるか？
• RQ5 既約 $V$ が分解に現れる場合に、$\mathrm{pr}_{g\to g'}(\mathrm{Ass}_g(A_q(\lambda))) = \mathrm{Ass}_{g'}(V)$ が成り立つか、先行研究の予想を確認できるか？

主な発見

• 制限 $A_q(\lambda)|_{(g', K')}$ は、$g'$ の放物型部分代数 $q''$ と明示的に定義された重複度関数 $m(\lambda', p)$ を持つ $A_{q''}(\lambda')$ モジュールの直和への単射 $(g', K')$-準同型を許容する。
• 制限に現れる各既約 $(g', K')$-モジュールは、ある $A_{q''}(\lambda')$ の部分モジュールに同型であり、コンパクトの場合の公式を一般化する。
• 制限における任意の既約成分 $V$ の関連多様体は $\mathrm{Ass}_{g'}(V) = \mathrm{Ad}(K')(u'' \cap p')$ を満たす。ここで $u'' \cap p'$ は放物型 $q''$ の極小部分代数である。
• 射影された関連多様体 $\mathrm{pr}_{g\to g'}(\mathrm{Ass}_g(A_q(\lambda)))$ は $\mathrm{Ad}(K')(u'' \cap p')$ に等しく、$W = A_q(\lambda)$ の場合に $\mathrm{pr}_{g\to g'}(\mathrm{Ass}_g(W)) = \mathrm{Ass}_{g'}(V)$ の予想が正当化される。
• 複素部分旗多様体上の $A_q(\lambda)$ の D-加群実現により、押し出しと全体切断を用いた幾何的証明が可能となり、分岐則が得られる。
• 密度 $K'/(Q \cap K')$ が $K/(Q \cap K)$ に密であることと、軌道の閉包の閉性に起因して、等式 $\mathrm{pr}_{g\to g'}(\mathrm{Ad}(K)(\bar{u} \cap p)) = \mathrm{Ad}(K')(u'' \cap p')$ が成り立つ。