[論文レビュー] On the reversal of radial SLE, I: Commutation Relations in Annuli

Dapeng Zhan|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2009

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、径方向SLEおよび全平面SLEの可逆性を研究するために、二重に連結された領域におけるアンナラスSLE(κ,Λ)過程を導入する。共通関係を保証するためのΛに関する偏微分方程式（PDE）を導出し、2つのアンナラスSLE(κ,Λ)過程のグローバル結合を構成する。退化する場合、この結合は全平面SLEκの可逆性を導き、またアンナラスのトレースの極限が径方向SLEκの逆転であることが示される。

ABSTRACT

We aim at finding the reversal of radial SLE and proving the reversibility of whole-plane SLE. For this purpose, we define annulus SLE$(κ,Λ)$ processes in doubly connected domains with one marked boundary point. We derive some partial differential equation for $Λ$, which is sufficient for the annulus SLE$(κ,Λ)$ process to satisfy commutation relation. If $Λ$ satisfies this PDE, then using a coupling technique, we are able to construct a global commutation coupling of two annulus SLE$(κ,Λ)$ processes. If more conditions are satisfied, the coupling exists in the degenerate case, which becomes a coupling of two whole-plane SLE$_κ$ processes. The reversibility of whole-plane SLE$_κ$ follows from this coupling together with the assumption that such annulus SLE$(κ,Λ)$ trace ends at the marked point. We then conclude that the limit of such annulus SLE$(κ,Λ)$ trace is the reversal of radial SLE$_κ$ trace. In the end, we derive some particular solutions to the PDE for $Λ$.

研究の動機と目的

• 1つのマークされた境界点をもつ二重に連結された領域におけるアンナラスSLE(κ,Λ)過程の定義と解析。
• アンナラスSLE(κ,Λ)過程における共通関係を保証するΛに関する偏微分方程式（PDE）の導出。
• Λに導出されたPDEが満たされる場合に、2つのアンナラスSLE(κ,Λ)過程のグローバル共通関係結合の構成。
• 結合を退化した場合に拡張し、2つの全平面SLEκ過程の結合を導出。
• アンナラスSLE(κ,Λ)トレースがマークされた点に到達すると仮定することで、全平面SLEκの可逆性を確立。

提案手法

• 1つのマークされた境界点をもつ二重に連結された領域におけるアンナラスSLE(κ,Λ)過程の定義。
• 2つのSLE過程間の共通関係を保証するためのドリフト関数Λに関するPDEの導出。
• ΛがPDEを満たす場合に、2つのアンナラスSLE(κ,Λ)過程のグローバル共通関係結合を結合技術を用いて構成。
• 結合の退化極限を解析し、2つの全平面SLEκ過程の結合を回復。
• アンナラスSLE(κ,Λ)トレースがマークされた点に到達すると仮定し、極限過程が径方向SLEκの逆転であることを導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Λがどのような条件下にあれば、アンナラスSLE(κ,Λ)過程が共通関係を満たすか？
• RQ2 Λが導出されたPDEを満たす場合に、2つのアンナラスSLE(κ,Λ)過程のグローバル共通関係結合を構成可能か？
• RQ3 アンナラスSLE(κ,Λ)過程の退化極限が、2つの全平面SLEκ過程の結合をもたらすか？
• RQ4 与えられた仮定の下で、アンナラスSLE(κ,Λ)トレースの極限が径方向SLEκトレースの逆転と等しいか？
• RQ5 必要な条件を満たすPDEの明示的解は何か？

主な発見

• Λに関するPDEは、アンナラスSLE(κ,Λ)過程が共通関係を満たすために必要かつ十分である。
• Λが導出されたPDEを満たす場合、2つのアンナラスSLE(κ,Λ)過程のグローバル共通関係結合を構成可能である。
• 退化した場合、結合は2つの全平面SLEκ過程の結合に簡略化される。
• アンナラスSLE(κ,Λ)トレースがマークされた点に到達すると仮定することで、全平面SLEκの可逆性が導かれる。
• アンナラスSLE(κ,Λ)トレースの極限は、径方向SLEκトレースの逆転として特定される。
• 本論文は、PDEの具体的な解を導出し、許容可能なドリフト関数の明示的例を提供する。