[論文レビュー] On the Riemann-Hardy hypothesis for the Ramanujan zeta function

Xiao‐Jun Yang|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2018

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ひとこと要約

この論文は、積分表現、級数および積の展開、およびハダマールの因子分解定理を用いてラマヌジャン・ゼータ関数のリーマン＝ハーディー予想を証明する。すべての非自明な零点が臨界線 ℜ(x) = 6 上にあることが示され、ハーディーの1940年の予想が裏付けられる。

ABSTRACT

The Ramanujan zeta function was in $1916$ proposed by an Indian mathematician Srinivasa Ramanujan. As an analogue of the Riemann hypothesis, an English mathematician Godfrey Harold Hardy proposed in $1940$ that the real part of all complex zeros of the Ramanujan zeta function is $6$. This is the well-known Riemann-Hardy hypothesis for the Ramanujan zeta function. This article is devoted to the proof of this hypothesis derived from the Ramanujan-Rankin function. Owing to the integral representation of the Ramanujan-De Bruijn function, we establish its series. We also reduce its product using the Hadamard's factorization theorem. By a class with its series and product representations, we conclude that the real part of all zeros for Ramanujan-De Bruijn function is zero. we also obtain its products of Conrey and Ghosh and Hadamard-type for the Ramanujan-Rankin function. Based on the obtained result, we prove that the Riemann-Hardy hypothesis is true.

研究の動機と目的

• リーマン＝ハーディー予想を証明すること。この予想は、ラマヌジャン・ゼータ関数のすべての非自明な零点が臨界線 ℜ(x) = 6 上にあると仮定している。
• ラマヌジャン＝ド・ブリュイン関数 X(z) を、ラマヌジャン・ゼータ関数の零点分布を研究するための主要な道具として分析すること。
• ラマヌジャン＝ランキン関数 ξτ(x) の級数および積の展開の収束性と対称性の性質を確立すること。
• ハダマールの因子分解定理を適用して、ラマヌジャン＝ド・ブリュイン関数の正規積表示を導出し、零点の位置を導出すること。
• 関数方程式 ξτ(x) = ξτ(12−x) を検証し、解析接続を用いた対称性とその零点の位置への影響を考察すること。

提案手法

• モジュラー形式 L(ω) のメリン変換を用いて、ラマヌジャン＝ド・ブリュイン関数 X(z) の積分表現を導出する。
• 関数方程式 ξτ(x) = ξτ(12−x) を適用して、φ に関して偶関数であるラマヌジャン＝ウィルトン関数 Λ(φ) = ξτ(6+iφ) を定義する。
• ラマヌジャン＝ランキン関数 ξτ(x) = (2π)−xΓ(x)Hτ(x) を用いて、ゼータ関数とガンマ関数、およびモジュラー形式を結びつける。
• ハダマールの因子分解定理を適用して、ξτ(x) をその零点を用いた無限積として表現し、正規積表示を得る。
• X(z) の零点集合を純虚数零点 z_m = iγ_m に変換することで ℜ(z_m) = 0 が得られ、x = 6 + iγ_m に逆変換する。
• ノップの紀行から収束定理を用いて、関数の積および級数展開の絶対収束性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハーディーが予想したように、ラマヌジャン・ゼータ関数 Hτ(x) のすべての非自明な零点は臨界線 ℜ(x) = 6 上にあるか？
• RQ2 ラマヌジャン＝ド・ブリュイン関数 X(z) は、虚軸上に零点を持つ収束する無限積として表現可能か？
• RQ3 ξτ(x) の関数方程式とその零点の対称性との関係は何か？
• RQ4 ラマヌジャン＝ランキン関数の級数および積の展開は、その零点の位置をどのように支持するか？
• RQ5 古典的複素解析の道具を用いて、積および級数展開の収束性を厳密に確立できるか？

主な発見

• すべての非自明な零点が臨界線 ℜ(x) = 6 上にあることが確認され、リーマン＝ハーディー予想が裏付けられる。
• ラマヌジャン＝ド・ブリュイン関数 X(z) は純虚数零点 z_m = iγ_m（γ_m > 0）を持つ。これは ℜ(z_m) = 0 を意味する。
• X(z) の正規積表示は X(z) = X(0) ∏_{m=1}^∞ (1 + z²/γ_m²) で与えられ、絶対収束する。
• ラマヌジャン＝ウィルトン関数 Λ(φ) = X(iφ) は偶関数であり、Λ(φ) = Λ(0) ∏_{m=1}^∞ (1 − φ²/γ_m²) の積表示を持つ。
• ξτ(x) の零点は x_m = 6 ± iγ_m に位置し、実部が正確に 6 であることが確認される。
• ∑ |z_m|⁻² および ∑ |Im(z_m)|⁻² の収束性が確立され、ノップの定理による無限積因子分解の妥当性が支持される。