[論文レビュー] On the Riemann-Lie algebras and Riemann-Poisson Lie groups

Mohamed Boucetta|ArXiv.org|Oct 18, 2003

Advanced Topics in Algebra参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、双対が標準的線形ポアソン構造と相性の良いリーマン計量を持つリー代数であるリーマン-リー代数を導入する。リーマン-リー代数であるための必要十分条件が、2つのアーベルリー代数の半直積に同型であることであると証明しており、これは左不変な平坦なリーマン計量を持つリー群の特徴付けをもたらす。この結果により、ポアソン構造と相性の良い左不変なリーマン計量を持つ大規模なリーマン-ポアソンリー群の構成が可能になる。

ABSTRACT

A Riemann-Lie algebra is a Lie algebra $\cal G$ such that its dual ${\cal G}^*$ carries a Riemannian metric compatible (in the sense introduced by th author in C. R. Acad. Paris, t. 333, Série I, (2001) 763-768) with the canonical linear Poisson sructure of ${\cal G}^*$. The notion of Riemann-Lie algebra has its origins in the study, by the author, of Riemann-Poisson manifolds (see Preprint math.DG/0206102 to appear in Differential Geometry and its Applications). In this paper, we show that, for a Lie group $G$, its Lie algebra $\cal G$ carries a structure of Riemann-Lie algebra iff $G$ carries a flat left-invariant Riemannian metric. We use this characterization to construct a huge number of Riemann-Poisson Lie groups (a Riemann-Poisson Lie group is a Poisson Lie group endowed with a left-invariant Riemannian metric compatible with the Poisson structure).

研究の動機と目的

• 双対が標準的線形ポアソン構造と相性の良いリーマン計量を持つリー代数としてリーマン-リー代数を定義し、その特徴づけを行う。
• リーマン-リー代数と左不変な平坦なリーマン計量を持つリー群との間の対応関係を確立する。
• ポアソンリー群に左不変なリーマン計量が相性の良い形で備わった大規模なクラスのリーマン-ポアソンリー群を構成するための方法を提供する。
• 特に直交部分代数 $ S_{<,>} $ とリーマン接続 $ A $ を通じて、リーマン-リー代数の代数的構造を分析する。

提案手法

• 計量に関連するリーマン接続 $ A $ を用いて、条件 $[A_u v, w] + [u, A_w v] = 0$ を満たすリー代数 $ \mathfrak{g} $ をリーマン-リー代数として定義する。ここで $ u,v,w \in \mathfrak{g} $ である。
• 無限小的リーマン接続 $ A $ を用いて、$ \mathfrak{g}^* $ 上の計量とポアソン構造の整合性条件を表現する。
• 直交部分代数 $ S_{<,>} $ の構造と計量の曲率が消えることを利用して、$ \mathfrak{g} $ がリーマン-リー代数であることと、2つのアーベルリー代数の半直積に同型であることの必要十分条件を証明する。
• ミルナーの平坦な左不変計量に関する結果を応用し、リーマン-リー条件が対応するリー群 $ G $ に平坦な左不変リーマン計量が存在することと関連づける。
• 両方の双代数 $ (\mathfrak{g}, \mathfrak{g}^*) $ がリーマン-リー代数であるような具体例を構成する。
• 交換子上での $ \mathrm{ad}_u \circ \mathrm{ad}_u $ の作用を分析することで、$ \mathfrak{g} $ が可解であり、最終的に導来代数がアーベルであることが導かれ、分類結果が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー代数 $ \mathfrak{g} $ がリーマン-リー代数であるとは、その双対 $ \mathfrak{g}^* $ が標準的線形ポアソン構造と相性の良いリーマン計量を持つときであるが、どのような条件下で成立するか？
• RQ2 リーマン-リー代数構造を持つリー代数の構造的特徴づけは何か？
• RQ3 リー群 $ G $ に平坦な左不変リーマン計量が存在することは、そのリー代数がリーマン-リー代数であることとどのように関係しているか？
• RQ4 リー代数とその双対が両方ともリーマン-リー代数であることを保証することで、リーマン-ポアソンリー群を体系的に構成できるか？
• RQ5 リーマン接続 $ A $ とリー括弧積の整合性が、恒等式 $ [A_u v, w] + [u, A_w v] = 0 $ にどのように表現されるか、その代数的制約は何か？

主な発見

• リー代数 $ \mathfrak{g} $ がリーマン-リー代数であることと、2つのアーベルリー代数の半直積に同型であることとは同値である。
• リーマン-リー代数であるための条件は、ミルナーの定理を介して、対応するリー群 $ G $ に平坦な左不変リーマン計量が存在することと同値である。
• リーマン-リー代数の導来代数 $ [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] $ はアーベルであるため、$ \mathfrak{g} $ は可解であり、最終的に冪零である。
• 直交部分代数 $ S_{<,>} $（定義：$ \mathrm{ad}_u + \mathrm{ad}_u^t = 0 $）は、計量が双不変でない限り自明でない。
• 中心が自明なリーマン-リー代数のカルタン形式は厳密に負定値であるため、導来代数が非アーベルであれば半単純かつコンパクトであるが、構造上、それはアーベルでなければならない。
• 両方の代数 $ \mathfrak{g} $ と $ \mathfrak{g}^* $ がリーマン-リー代数であるような双代数 $ (\mathfrak{g}, \mathfrak{g}^*) $ の具体例が提示されており、このような構造の豊富さが示されている。