[論文レビュー] On the RLWE/PLWE equivalence for cyclotomic number fields

Iván Blanco Chacón|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2020

Cryptography and Data Security参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、導手の異なる素因数の個数が一定であるとき、巡回的数体におけるRing Learning With Errors (RLWE) 問題とPolynomial Learning With Errors (PLWE) 問題の等価性を確立している。この等価性は、多項式的ノイズ増加を伴って成立する。主な貢献は、巡回的多項式に関連するバーデルモンデ行列の条件数に対する一般化された漸近的非指数的上界を導出したことである。この上界は、このような数体においてRLWEとPLWEが多項式的ノイズ増加のもとでも等価のままであることを示している。

ABSTRACT

We study the equivalence between the Ring Learning With Errors and Polynomial Learning With Errors problems for cyclotomic number fields,namely: we prove that both problems are equivalent via a polynomial noise increase as long as the number of distinct primes dividing the conductor is kept constant. We refine our bound in the case where the conductor is divisible by at most three primes and we give an asymptotic subexponential formula for the condition number of the attached Vandermonde matrix valid for arbitrary degree.

研究の動機と目的

• 導手の異なる素因数の個数が固定されている場合の、巡回的数体におけるRLWEとPLWE問題の等価性を確立すること。
• 導手に高々3つの素因数が含まれる数体に対して、巡回的多項式に関連するバーデルモンデ行列の条件数の境界を精緻化すること。
• 既知の巡回的多項式係数に関する推定値を用いて、任意の巡回的数体に対してバーデルモンデ行列の条件数の漸近的非指数的上界を導出すること。
• 一般の場合のRLWE/PLWE等価性が、次数の平方要因までを除き、平方自由な場合に還元可能であることを示し、ノイズ増加に影響するのは導手の根核（radical）のみであることを示すこと。
• 巡回的数体における標準的埋め込みと座標埋め込みの間の歪みを定量的に評価することで、後量子暗号における多項式環モデルの理論的基盤を強化すること。

提案手法

• 巡回的数体の整数環と巡回的多項式を法とする多項式環の間の同型を代数的数論を用いて分析する。
• ヴィエトの定理を用いて、根を用いた巡回的多項式の係数を分析し、バーデルモンデ行列のノルムを精密に制御する。
• 除数関数の算術的推定と、特にバタマンの最大係数 $ A(n) $ に対する漸近的境界を活用した、巡回的多項式の最大係数に関する境界推定。
• バング（2001年）およびブルーム（1997年）の結果を応用し、導手が高々3つの素数で割り切れる数体における条件数の境界を精緻化する。
• 根の単位根における巡回的多項式の微分の逆を用いて、バーデルモンデ行列 $ V_{ ilde{ ho}} $ の一般化された上界を導出する。
• 最大係数 $ A(n) $ の境界と、素因数関数 $ ho(n) = ext{rad}(n) $ を組み合わせることで、条件数の非指数的漸近的推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導手の異なる素因数の個数が一定である巡回的数体において、RLWE問題とPLWE問題がどのような条件下で等価となるか。
• RQ2 巡回的多項式に関連するバーデルモンデ行列の条件数は、数体の次数とともにどのように増加するか。
• RQ3 RLWE/PLWEの等価性は2の冪の巡回的ケースを超えて拡張可能か。その場合のノイズ増加要因は何か。
• RQ4 巡回的多項式の最大係数の漸近的増加率は何か。また、これにより関連するバーデルモンデ行列の条件数にどのような影響を与えるか。
• RQ5 一般の場合のRLWE/PLWE等価性は、ノイズ増加の観点から、平方自由な場合にどの程度まで還元可能か。

主な発見

• 導手の異なる素因数の個数が有界な巡回的数体において、RLWEとPLWEは多項式的ノイズ増加を伴って等価である。
• 導手が高々3つの異なる素数で割り切れる場合、バーデルモンデ行列の条件数は $ 2m^4 $ で有界であり、ここで $ m $ は巡回的多項式の係数の絶対値の最大値を表す。
• 一般の $ n $ に対して、条件数 $ ext{Cond}(V_{ ilde{ ho}}) $ は $ ext{O}(n^{n^{rac{1}{ ext{log log } n}} + rac{ ext{log } n}{ ext{log log } n} + 3} e^{n^{rac{1}{ ext{log log } n}}}) $ で有界であり、これは非指数的増加を示している。
• 巡回的多項式 $ ilde{ ho}_n $ の最大係数 $ A(n) $ は、任意の $ \rho > 0 $ に対して $ A(n) \to e^{n^{(1+\rho)\text{log }2/\text{log log }n}} $ を満たし、これが非指数的境界の根拠となっている。
• 一般の場合のRLWE/PLWE等価性は、次数の平方要因までを除き、平方自由な場合に還元可能であり、ノイズ増加に影響するのは $ n $ の根核（radical）のみである。
• 異なる素因数の個数が一定である場合、条件数の境界は次数に関して多項式的であるため、このような設定においてRLWEとPLWEが多項式的ノイズ増加のもとでも等価のまま保たれることを確認している。