[論文レビュー] On the Robust superhedging of measurable claims

Dylan Possamaï, Guillaume Royer+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、一般の非支配的確率測度の族に対して、可測なヘッジ可能なヘッジの双対性を強固に確立し、先行研究を拡張する。積分可能性および可測性の条件を弱める。解析性と分岐安定性に基づく新しい枠組みを導入し、マルティングール最適輸送および一様可積分マルティングール制約下でのロバストファイナンスへの応用を可能にする。

ABSTRACT

The problem of robust hedging requires to solve the problem of superhedging under a nondominated family of singular measures. Recent progress was achieved by [9,11]. We show that the dual formulation of this problem is valid in a context suitable for martingale optimal transportation or, more generally, for optimal transportation under controlled stochastic dynamics.

研究の動機と目的

• 積分可能性および可測性の条件を弱める中で、一般の可測なヘッジ可能なヘッジに対して、ロバストスーパーヘッジングの双対性枠組みを拡張すること。
• 一様可積分マルティングール測度を含む設定において、先行研究の限界（特にNeufeldとNutz [9]）を解消すること。
• 静的および動的取引を許容するマルティングール最適輸送問題に適用可能な双対性結果の一般化を提供すること。
• 上半連続解析的可測関数に対して、準確確実的（quasi-sure）条件下でのスーパーヘッジ戦略の存在を確立すること。
• 従来の仮定を一般化しつつ双対性結果の有効性を保つ新しい条件（条件5.1）を確立すること。

提案手法

• 分岐安定性を満たし、解析性および可測性条件を満たす確率測度の新たな族 $\mathcal{P}$ を導入する。
• 家族の特異測度全体にわたるスーパーヘッジの定義に、$\mathcal{P}$-準確確実的（q.s.）性質の概念を用いる。
• 進行的可測性および局所化技術を用いて、許容可能な取引戦略の集合 $\mathcal{H}^\xi(\mathcal{P})$ を定義する。
• 可測核 $\nu^n$ から構成される $\widetilde{\mathbb{P}}^n$ を用いたカーネル近似法を適用し、法的収束を保証する。
• 普遍的フィルトレーション $\mathbb{F}^*$ および標準過程 $B$ を用いて、準確確実的条件下でのパス単位のストキャスティック積分を定義する。
• 解析的集合および可測核を用いた極限的議論により双対性を確立し、NeufeldとNutz [9] の手法を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 積分可能性および可測性の条件を弱める中で、ロバストスーパーヘッジングの双対性結果を可測なヘッジ可能なヘッジへ拡張できるか？
• RQ2 測度族が、標準過程が一様可積分マルティングールであるようなものに制限された場合、双対性枠組みは依然として有効か？
• RQ3 NeufeldとNutz [9] の条件を弱めても、双対性およびスーパーヘッジ戦略の存在は保たれるか？
• RQ4 元の仮定を越えて双対性結果の有効性を保証する測度族に関する一般条件は存在するか？
• RQ5 静的および動的取引を許容する状況下で、マルティングール最適輸送におけるスーパーヘッジング問題はどのように定式化できるか？

主な発見

• ロバストスーパーヘッジング価格 $V(\xi)$ は、すべての $\mathbb{P} \in \mathcal{P}$ における $\mathbb{E}^\mathbb{P}[\xi]$ の上界に等しく、プライマル問題とデュアル問題の間の双対性を確立する。
• 双対性結果は条件5.1のもとで成立し、これは条件3.1よりも厳密に弱く、$\mathcal{P}_m$ および $\mathcal{P}_b$ の族を含む。
• スーパーヘッジ戦略の存在が保証される：$\mathcal{P}^\xi$-準確確実的条件下で、$X_0 + \int_0^T H_s dB_s \geq \xi$ を満たす $H \in \mathcal{H}^\xi(\mathcal{P})$ が存在する。
• $\mathcal{P}_b$ は、標準過程が一様可積分マルティングールである測度の族であり、条件5.1を満たすため、マルティングール最適輸送への応用が可能である。
• カーネル近似および可測選択を用いた証明技法により、法的収束が保証され、新たな測度族下でも準確確実性が保持される。
• NeufeldとNutz [9] の先行研究を、彼らの積分可能性および可測性の条件が成立しない状況、特にマルティングール最適輸送の文脈において一般化する。