[論文レビュー] On the role of numerical dissipation in stabilising under-resolved turbulent simulations using discontinuous Galerkin methods

Juan Manzanero, Esteban Ferrer+2 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 40被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、低散乱のリーマン解法とスモゴルチェンスキーに基づくSVVモデルを組み合わせることで、未解像な乱流の流れを安定化する、新しい不連続ガラーキン・スペクトル消散粘性（DG-SVV）法を提案する。波数に特化した粘性を制御することにより、乱流領域では全波数範囲にわたって十分な散乱を確保しつつ、層流領域では高精度な層流挙動を達成する。

ABSTRACT

We analyse numerical errors (dissipation and dispersion) introduced by the discretisation of inviscid and viscous terms in energy stable discontinuous Galerkin methods. First, we analyse these methods using a linear von Neumann analysis (for a linear advection-diffusion equation) to characterise their properties in wave-number space. Second, we validate these observations using the 3D Taylor-Green Vortex Navier-Stokes problem to assess transitional/turbulent flows. We show that the dissipation introduced by upwind Riemann solvers affects primarily high wave-numbers. This dissipation may be increased, through a penalty parameter, until a critical value. However, further augmentation of this parameter leads to a decrease of dissipation, reaching zero for very large values. Regarding the dissipation introduced by second order derivatives, we show that this dissipa- tion acts at low and medium wave-numbers (lower wave-numbers compared to upwind Riemann solvers). In addition, we analyse the Spectral Vanishing Viscosity (SVV) technique, previously used in continuous discretisations (e.g. Fourier), to find that with an appropriate kernel (which damps selected modes) it is possible to control the amount of dissipation introduced in the low and medium wave-number range. Combining these ideas, we finally propose a DG-SVV approach that uses a Smagorinsky model to compute the numerical viscosity. This DG-SVV approach is tested in an isotropic laminar/turbulent under-resolved scenario. Combining the SVV technique with a low dissipation Riemann solver, we obtain a scheme capable of maintaining low dissipation levels for laminar flows, whilst providing the correct dissipation for all wave-number ranges in turbulent regimes.

研究の動機と目的

• 未解像な乱流の流れに対するエネルギー安定な不連続ガラーキン（DG）法における数値的散乱の分析と制御を目的とする。
• 上流リーマン解法、粘性項、および人工粘性技術がもたらす波数依存の散乱特性を評価することを目的とする。
• 層流領域での低散乱と乱流領域での十分な散乱を両立するハイブリッドDG-SVVアプローチの開発を目的とする。
• 3次元ターレー・グリーン・バーブル（TGV）問題を用い、Re = 1600の条件下で遷移期および等方的減衰期を検証することで、提案スキームの妥当性を検証することを目的とする。
• 低散乱リーマン解法と波数に特化したSVVを組み合わせることで、ロバストで高精度なインヒーレント大渦シミュレーション（iLES）を実現できることを示すこと

提案手法

• DG離散化における分散および散乱を波数空間で特徴付けるために、1次元線形移流拡散方程式に対するフォン・ノイマン解析を実施する。
• 上流リーマン解法を適用し、主に高波数領域に散乱を導入する。散乱は最適なペナルティパラメータでピークに達し、非常に大きな値では減少し、最終的に消失する。
• BR1スキームによる2階微分項の離散化を分析し、低波数および中波数領域に散乱が生じることを示し、リーマン解法の効果を補完することを明らかにする。
• 波数選択的カーネルを用いて、低波数および中波数領域における散乱を制御するため、スペクトル消散粘性（SVV）技術を適応応用する。
• スモゴルチェンスキー・モデルを用いて数値的粘性係数を計算するDG-SVVスキームを提案し、動的かつスケール分解可能な散乱を実現する。
• 3次元ターレー・グリーン・バーブル問題（Re = 1600）を用い、3段階ルンゲ・クッタ時間積分法とCFL = 0.4を用いてスキームを検証する

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 未解像なDGシミュレーションにおいて、上流リーマン解法による散乱は、ペナルティパラメータの変化に伴い、どのように異なる波数範囲に応じて変化するか？
• RQ2 DG法における粘性フラックス離散化がもたらす散乱の波数分布はどのようなものか？
• RQ3 SVV技術は、適切にカーネル化された場合、低波数および中波数領域における散乱を効果的に制御できるか？
• RQ4 低散乱リーマン解法とスモゴルチェンスキー・モデルに基づくSVVモデルを組み合わせることで、未解像な乱流シミュレーションの精度と安定性はどのように向上するか？
• RQ5 提案されたDG-SVVスキームは、粗いメッシュにおけるシミュレーションにおいて、層流領域では低散乱を維持しつつ、乱流エネルギー・カスケードに十分な散乱を提供する程度の性能を発揮するか？

主な発見

• 上流リーマン解法による散乱は、ペナルティパラメータの増加に伴い、臨界値に達するまで増加し、その後減少し、非常に大きな値では最終的に消失する。
• BR1スキームによる粘性項の離散化は、主に低波数および中波数領域に散乱を導入するが、リーマン解法とは異なり、高波数領域に特化した散乱とは異なる。
• 適切にカーネル化されたSVV技術は、低波数および中波数領域における散乱を的確に制御でき、未解像なシミュレーションの安定化に効果を発揮する。
• スモゴルチェンスキーに基づく粘性モデルを用いた提案されたDG-SVVスキームは、層流領域では低数値的散乱を維持しつつ、乱流領域の全波数範囲にわたって十分な散乱を提供する。
• Re = 1600の3次元ターレー・グリーン・バーブル問題を用いた数値的検証により、DG-SVVアプローチが運動エネルギーの減衰および渦度の進化を高精度に捉え、数値的に導入された散乱 μ ≈ ε/(2ζ) が期待される物理的挙動と一致することが確認された。
• 低散乱リーマン解法と波数に特化したSVVの組み合わせは、標準的なiLES手法と比較して、等方的未解像乱流シミュレーションにおいて優れた精度とロバスト性を実現した。