[論文レビュー] On the Role of Shared Randomness in Simultaneous Communication

Mohammad Bavarian, Dmitry Gavinsky+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2015

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、同時メッセージ伝送（SMP）通信モデルにおける不完全な共有ランダムネスの有用性を特徴付けるための指標として「衝突複雑度」を導入する。非自明な共有ランダムネスでさえ、通信コストを顕著に削減できることを示しており、特に等価関数は任意の非自明な共有ランダムネスを用いることで近似的にゼロの通信コストで解けることが示される。

ABSTRACT

Two parties wish to carry out certain distributed computational tasks, and they are given access to a source of correlated random bits. It allows the parties to act in a correlated manner, which can be quite useful. But what happens if the shared randomness is not perfect? In this work, we initiate the study of the power of different sources of shared randomness in communication complexity. This is done in the setting of simultaneous message passing (SMP) model of communication complexity, which is one of the most suitable models for studying the resource of shared randomness. Toward characterising the power of various sources of shared randomness, we introduce a measure for the quality of a source - we call it collision complexity. Our results show that the collision complexity tightly characterises the power of a (shared) randomness resource in the SMP model. Of independent interest is our demonstration that even the weakest sources of shared randomness can in some cases increase the power of SMP substantially: the equality function can be solved very efficiently with virtually any nontrivial shared randomness.

研究の動機と目的

• 通信複雑性における不完全な共有ランダムネスのパワーを理解すること、特に同時メッセージ伝送（SMP）モデルにおいて。
• さまざまな共有ランダムネスソースが分散計算における通信コストに与える影響を特徴づけること。
• SMPプロトコルにおいて非自明な通信コスト削減をもたらすために必要な最小限の共有ランダムネス要件を同定すること。
• 特定の関数に対して、たとえ弱い共有ランダムネスソースであっても通信コストを顕著に削減できることを示すこと。

提案手法

• SMPモデルにおける共有ランダムネスソースの質を定量化するための新しい指標「衝突複雑度」を導入する。
• 同意複雑度フレームワークを用いて、共有ランダムネスの質と通信効率との関係を関連付ける。
• 共有ランダムネスソースを表す二部グラフ分布とその相関構造を、相関測度を用いて分析する。
• 構造的分布下での期待内積を評価するために、ブール立方体上でのフーリエ解析を適用する。
• 濃度および反濃度不等式を活用して、ノイズ混在またはスパarsな共有ランダムネス下での同意および相関の境界を導出する。
• テンソル化技術を用いて、単一コピーから複数コピーの共有ランダムネス設定への結果の拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相関構造によって測定される共有ランダムネスの質が、SMPモデルにおける通信コストにどのように影響するか？
• RQ2 完全に相関していない共有ランダムネスソースですら、通信複雑性において顕著な利点を提供できるか？
• RQ3 非自明な通信コスト削減を可能にするために必要な共有ランダムネスの最小相関レベルは何か？
• RQ4 弱い共有ランダムネスソースは、等価性テストのような基本的問題に対してどの程度効率的な解法を可能にするか？
• RQ5 任意の共有ランダムネスソースの通信パワーを特徴付ける普遍的な指標は存在するか？

主な発見

• 衝突複雑度は、SMPモデルにおける任意の共有ランダムネスソースの通信パワーをタイトに特徴づける。
• 最も弱い非自明な共有ランダムネスソース（例えば、サポートが互いに disjoint な場合）ですら、等価関数の通信コスト削減を可能にする。
• 任意の非自明な共有ランダムネスソースを用いることで、等価関数は通信コストがゼロに近づく形で解ける。
• 相関が1未満である任意の共有ランダムネスソースに対して、完全な共有ランダムネス下での同意複雑度に対して、下限として定数倍の下界が得られる。
• 本稿では、共有ランダムネスの相関が1から離れている場合、ノイズが存在する中でもその通信パワーが依然として顕著であることを証明している。
• 分析により、相関が低いソースに対しても、通信コストが完全な共有ランダムネス下での最適コストの定数倍に抑えられることを示している。