[論文レビュー] On the Roman Bondage Number of Graphs on surfaces

Vladimir Samodivkin|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非負のオイラー特性をもつ曲面上に2-セル埋め込みされたグラフのローマン・ボディネス番号 $ b_R(G) $ の上界を確立する。任意の2-セル埋め込みグラフについて、$ b_R(G) \leq 15 $ が成り立つ。結果は、平均次数、最大次数、ゴースト、オイラー特性といった次数的および位相的制約を用いて得られ、頂点および辺の削除解析と、球面、トーラス、クラインボトルなどの曲面上に埋め込まれたグラフの構造的性質が主な技術的手段となる。

ABSTRACT

A Roman dominating function on a graph $G$ is a labeling $f : V(G) ightarrow \{0, 1, 2\}$ such that every vertex with label $0$ has a neighbor with label $2$. The Roman domination number, $γ_R(G)$, of $G$ is the minimum of $Σ_{v\in V (G)} f(v)$ over such functions. The Roman bondage number $b_R(G)$ is the cardinality of a smallest set of edges whose removal from $G$ results in a graph with Roman domination number not equal to $γ_R(G)$. In this paper we obtain upper bounds on $b_{R}(G)$ in terms of (a) the average degree and maximum degree, and (b) Euler characteristic, girth and maximum degree. We also show that the Roman bondage number of every graph which admits a $2$-cell embedding on a surface with non negative Euler characteristic does not exceed $15$.

研究の動機と目的

• 曲面に埋め込まれたグラフにおけるローマン・ボディネス番号 $ b_R(G) $ の上界を特定すること。
• 特に特定の位相的埋め込みを持つグラフにおいて、エッジ削除によるローマン支配数の安定性を分析すること。
• 平均次数、最大次数、ゴースト、オイラー特性といった構造的グラフ不変量を組み込むことで、既存の $ b_R(G) $ の上界を拡張すること。
• すべての2-セル埋め込み可能なグラフについて、非負のオイラー特性をもつ曲面（球面、トーラス、射影平面、クラインボトルを含む）において $ b_R(G) \leq 15 $ が成り立つことを証明すること。

提案手法

• Theorem F を用いて、次数の和が有界であるような頂点のペアを特定し、$ d_G(x) + d_G(y) \leq 2ad(G) $ を満たすようにすることで、エッジ削除の影響を制限する。
• Theorem E を適用し、2パス $ xyz $ 沿いの次数の和を用いて $ b_R(G) \leq d_G(x) + d_G(y) + d_G(z) - 3 - |N_G(x) \cap N_G(y)| $ を得る。
• Lemma G を用いて、平均次数とオイラー特性およびゴーストの関係を導出し、ゴーストが $ k $ であるグラフに対して $ ad(G) \leq \frac{4k}{k-2}\left(1 - \frac{\chi}{n}\right) $ を得る。
• Theorem A を用いて、$ \delta(G) \geq 5 $ かつ $ \chi \geq 0 $ を満たす曲面上のグラフにおいて、低次数のエッジペアを特定する。特に $ \mathbb{S}_0, \mathbb{N}_1, \mathbb{S}_1, \mathbb{N}_2 $ に対して有効である。
• 頂点次数の分割 $ V_{\leq 5} $ および $ V_{\geq 6} $ を分析し、エッジ削除の影響を制御し、代替のローマン支配関数を構成する。
• 頂点 $ v_i $ に対して $ f(v_i) = 0 $、$ u $ に対して $ f(u) = 2 $、その他の頂点に対して $ f(v) = g(v) $ と定義することで、$ G $ 上にローマン支配関数 $ f $ を構成し、$ \gamma_R(G) < \gamma_R(G - E_1) $ を示す。これにより $ b_R(G) \leq |E_1| \leq 15 $ が証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2-セル埋め込みされた非負のオイラー特性をもつ曲面上に埋め込まれたグラフについて、ローマン・ボディネス番号 $ b_R(G) $ の最大値は何か？
• RQ2 平均次数、最大次数、ゴースト、オイラー特性が、ローマン・ボディネス番号にどのように同時に制約を加えるか？
• RQ3 平面的およびトーラス的グラフについて、ローマン・ボディネス番号は常に有界に抑えられるか？ もしそうならば、最もタイトな上界は何か？
• RQ4 頂点次数およびエッジの近傍構造にどのような構造的条件が満たされると、エッジ削除後も $ b_R(G) $ は小さく保たれるか？
• RQ5 低次数の頂点および局所的なグラフ構造は、ローマン支配数の安定性にどのように影響するか？

主な発見

• 任意の連結グラフ $ G $ について $ \Delta(G) \geq 2 $ ならば、$ b_R(G) \leq 2ad(G) + \Delta(G) - 3 $ が成り立ち、これは次数に基づく上界を提供する。
• 位数 $ n $、ゴースト $ k < \infty $、曲面 $ \mathbb{M} $ 上に2-セル埋め込みされたグラフ $ G $ について、$ b_R(G) \leq \frac{4k}{k-2}\left(1 - \frac{\chi}{n}\right) + \Delta(G) - 3 \leq -\frac{12\chi}{n} + \Delta(G) + 9 $ が成り立つ。
• グラフ $ G $ がオイラー特性 $ \chi(\mathbb{M}) \geq 0 $ をもつ曲面 $ \mathbb{M} $ に2-セル埋め込みされている場合、$ b_R(G) \leq 15 $ が成り立つ。これは球面、トーラス、射影平面、クラインボトルを含む、非負のオイラー特性をもつすべての曲面に適用可能である。
• $ \Delta(G) \geq 7 $ の場合、頂点次数の分割を分析し、Theorem E を2パスに適用することで、次数の和が有界なパスに対して $ b_R(G) \leq 15 $ が保たれる。
• $ \delta(G) = 6 $ の場合、$ G $ はトーラスまたはクラインボトル上に6正則な三角形分割をなすが、これは $ \Delta(G) \geq 7 $ と矛盾するため、$ \delta(G) \leq 5 $ であり、$ V_{\leq 5} $ が空でないことが保証され、構造的解析が可能になる。
• すべての $ G_{\geq 6} $ 内の次数6以下の頂点が $ V_{\leq 5} $ に高々1つの隣接頂点しか持たない場合、$ d_G(x) + d_G(y) \leq 13 $ かつ $ |N_G(x) \cap N_G(y)| \geq 2 $ を満たす2パス $ xyz $ が存在し、これにより $ b_R(G) \leq 14 $ が得られる。これは、このような場合に上界が15未満に厳密に保たれることを確認する。