[論文レビュー] On the roots of the equation $Z'(t)=0$

Jan Moser|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Lindel"of予想が、$ Z'(t) $ の連続する奇数位の零点間の間隔に顕著な収縮をもたらすことを確立している。これは、臨界線上のリーマン・ゼータ関数の局所的最大値または最小値に対応する零点が、$ \psi(T) $ が任意のゆっくり発散する関数であるとき、区間 $ (T, T + T^{\epsilon} \psi(T)) $ の中で密に分布することを示している。この結果は、Lindel"of予想のもとで三角和の推定を用いることで、従来の零点間隔推定における指数の上限を改善したものである。

ABSTRACT

We have proved in this paper that the Lindel\" of hypothesis generates essential contraction of distances between consecutive odd-order zeros of the function $Z'(t)$. This paper is the translation of the paper \cite{11} into the English except part 8 that we added in order to point out the I. M. Vinogradov' scepticism on possibilities of the method of trigonometric sums.

研究の動機と目的

• Lindel"of予想を仮定して、$ Z'(t) $ の奇数位の零点の分布を調査すること。これらは $ \zeta(1/2 + it) $ の局所的極値に対応する。
• 特に古典的な Hardy-Littlewood の指数を改善することを目的とした、$ Z'(t) $ の連続する零点間隔における既存の指数の上限を改善すること。
• I.M. Vinogradovの懐疑に基づき、三角和の手法が、$ \int_0^T |\zeta(1/2 + it)| dt $ の積分推定に適用される際の限界を評価すること。
• 三角和の推定に依存しない、無視できる誤差項を有する、Hardy-Littlewood積分の新しい漸近的表現を提供すること。

提案手法

• 関数等式と経路積分表現を用いて $ Z'(t) $ の明示的な漸近展開を導出し、式1：$ Z'(t) = -2\sum_{n \leq \sqrt{t/2\pi}} \frac{1}{\sqrt{n}} (\vartheta'(t) - \ln n) \sin(\vartheta(t) - t\ln n) + \mathcal{O}(t^{-1/4}\ln t) $ を得る。
• 区間 $ P_0 = \sqrt{T/(2\pi)} $ で切り捨てることで、導関数の表現を滑らかな和に変換し、収束性を向上させる。これにより、式2が得られ、対数的重み $ \ln(P_0/n) $ が導入される。
• 方程式 $ \vartheta(\tilde{t}_\nu) = \pi\nu + \pi/2 $ で定義される列 $ \tilde{t}_\nu $ を導入する。この列は正弦項の位相と一致し、構造的な区間における和の計算を可能にする。
• 区間 $ (T, T+H) $ 上での $ Z'(t) $ の部分和を評価するため、$ |S(a,b)| < A(\Delta)\sqrt{a} t^{\Delta} $（$ 0 < \Delta < 1/6 $）という仮定を適用し、推定式 (2.4) および (2.5) を得る。
• 偶数番号と奇数番号の $ \tilde{t}_\nu $ を分離するための交項和の技法を用い、符号反転の不均衡を示すレムマ3を導出する。これにより $ Z'(\tilde{t}_\nu) $ の符号変化が示され、結果として $ Z'(t)=0 $ の根が存在することが示される。
• 古典的な三角和手法と、新しい漸近的表現（A.6）を対比する。これにより、三角和推定に依存しない無視できる誤差 $ \mathcal{O}(\ln T / T) $ を有する表現が得られ、Vinogradovの懐疑の妥当性が裏付けられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lindel"of予想は、$ Z'(t) $ の奇数位の零点、すなわち $ \zeta(1/2 + it) $ の局所的極値の分布を、これまで知られていたものよりも密にすると示唆するか？
• RQ2 このような零点を含む区間長 $ T^{\Delta} \psi(T) $ の指数 $ \Delta $ は、$ \Delta = 35/216 + \epsilon $ よりも改善可能か？ もしそうなら、どの程度改善できるか？
• RQ3 I.M. Vinogradovの懐疑、すなわち三角和の手法が、$ \int_0^T |\zeta(1/2 + it)| dt $ の推定に適用される際の限界について、その妥当性はどの程度保たれるか？
• RQ4 三角和推定に依存しない、無視できる誤差項を有する、Hardy-Littlewood積分の表現を構築することは可能か？

主な発見

• Lindel"of予想のもとでは、$ \psi(T) $ が任意のゆっくり発散する関数（例：$ \ln\ln\cdots\ln T $）であるとき、区間 $ (T, T + T^{\epsilon} \psi(T)) $ に少なくとも一つの $ Z'(t) $ の奇数位の零点が存在する。これは、$ Z(t) $ の密な振動を示唆する。
• 従来の研究で得られた指数 $ \Delta = 35/216 + \epsilon $ が、Lindel"of予想のもとで $ \epsilon $ に改善され、指数の上限における改善は100％に達する。
• 任意の固定された $ \tau > 0 $ に対して、$ (T, T + T^{\tau}) $ 内の $ Z'(t) $ の奇数位の零点の数は、少なくとも $ A(\tau,\epsilon) T^{\tau - \epsilon} $ のオーダーで増加する。これは、$ T \to \infty $ のときの無限大への振動の存在を確認する。
• 古典的な三角和の手法は、無限大に発散し、除去できない誤差項 $ Q(T) = \mathcal{O}(T^{1/4 + \epsilon}) $ を生じる。これは、I.M. Vinogradovの懐疑が、より精密な推定における長期的限界を示していることを確認する。
• 新しい漸近的公式（A.6）が、誤差項 $ \mathcal{O}(\ln T / T) $ を有する形で導出され、これは無視できるものであり、三角和推定に依存しない。これにより、Vinogradovの懐疑がこの文脈で正当化される。
• 三角和の手法は、限界に達しており、改善の余地は小さくなっている。指数の上限の改善（例：$ 1/4 \to 1/6 \to 1/6 - \epsilon $）は、次第に小さくなり、その有効性に根本的な限界があることが示唆される。