[論文レビュー] On the Runtime of Randomized Local Search and Simple Evolutionary Algorithms for Dynamic Makespan Scheduling

Frank Neumann, Carsten Witt|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2015

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 26被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、任意の変更を伴う敵対的モデルと確率的ジョブサイズ調整を伴うランダムモデルの2つのモデルにおいて、ランダム化局所探索（RLS）および（1+1）EAの計算複雑性解析を初めて行った。主な結果として、両アルゴリズムが最適解を効率的に追跡できることを示しており、敵対的モデルでは常に差分がU未満を保ち、ランダムモデルでは高確率でO(log n)の差分を達成する。これは動的変化に対する強い適応性を示している。

ABSTRACT

Evolutionary algorithms have been frequently used for dynamic optimization problems. With this paper, we contribute to the theoretical understanding of this research area. We present the first computational complexity analysis of evolutionary algorithms for a dynamic variant of a classical combinatorial optimization problem, namely makespan scheduling. We study the model of a strong adversary which is allowed to change one job at regular intervals. Furthermore, we investigate the setting of random changes. Our results show that randomized local search and a simple evolutionary algorithm are very effective in dynamically tracking changes made to the problem instance.

研究の動機と目的

• ランダム化局所探索（RLS）および（1+1）EAの動的マクスパンスケジューリング問題における実行時間と適応性を理論的に分析すること。
• これらのアルゴリズムがジョブ処理時間の頻繁な、任意の、またはランダムな変化に対してどのように反応するかを調査すること。
• 異なる動的モデル下での差分と収束時間の理論的上限を確立すること。
• 動的再構成中に近似的最適解を維持する際のRLSおよび（1+1）EAの性能を比較すること。

提案手法

• 2台のマシンにおけるジョブ処理時間の変更を伴う動的マクスパンスケジューリング問題を形式化する。
• 標準的な変異を用いる：RLSではビット反転、（1+1）EAでは独立した1/nビットの反転。
• 2つの動的モデル（強い敵対的モデル：任意かつ周期的な変更、ランダムモデル：ジョブサイズに±1のランダム変更）の下での性能を分析する。
• 差分と収束時間の上限を求めるために、チェルノフの不等式、集中不等式、正規近似などの確率的道具を用いる。
• 実行時間を、所望の差分レベルに到達するまでの期待反復回数として測定する。
• O(log n)の差分に到達するまでの期待時間の上界を導出し、差分とマクスパンの比に関する上限を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジョブ処理時間に任意かつ周期的な変更が加わる条件下で、RLSおよび（1+1）EAはどの程度速く低差分解に収束するか？
• RQ2 初期解に依存せず、ランダム変更モデル下で（1+1）EAがO(log n)の差分に到達する期待時間は何か？
• RQ3 ランダムモデル下で、差分とマクスパンの比は時間経過とともにどのように変化するか？
• RQ4 敵対的モデルで変更が頻繁に発生する場合、RLSおよび（1+1）EAは差分を常にU未満に維持できるか？
• RQ5 ランダムモデル下で、初期解の品質は収束時間にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 敵対的モデルでは、RLSは頻繁かつ任意の変更が加わっても、O(n log n)反復ごとに差分がU未満を保つ。
• 同じ条件下で、（1+1）EAはO(n^{3/2})反復ごとに差分がU未満を保つ。
• ランダムモデルでは、（1+1）EAは初期解に依存せず、O(n^4 log n)の期待時間で差分O(log n)に到達する。
• ランダムモデル下で、差分とマクスパンの期待比は、少なくともO(n^{3/2})反復ごとに1回は6/n以下である。
• 初期差分の期待値はΘ(n√n)であり、高確率でO(n√n log n)である。これは収束時間に影響を与えるが、上限が存在する。
• ランダムモデルでは、差分≤nに到達するまでの期待時間は、（1+1）EAがO(n^{3/2})、RLSがO(n log n)であり、初期解や変更回数に依存しない。