[論文レビュー] On the Safe Use of Inconsistent Mathematics

Elemér E Rosinger|ArXiv.org|Nov 14, 2008

Advanced Algebra and Logic参考文献 2被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、論理的不整合な数学的体系を安全に使用する方法を提案する。具体的には、非不整合な公理の部分集合から有限ステップで導出可能な文のみを隔離・利用することで実現する。この手法は、オーバーフロー（M+1=M）によって不整合を生じるが、実用的な計算においてはオーバーフローを回避することで信頼性を保つデジタルコンピュータのような現実世界の不整合的システムに適用される。結果として、有限の導出深さによって不整合を安全に扱うことが可能となる。

ABSTRACT

A method is presented for using the consistent part of inconsistent axiomatic systems.

研究の動機と目的

• 現代の技術において避けがたい論理的矛盾や自己言及を回避してきた長年の傾向に、それらが実際には現代技術において必然的であるという事実を対比して対処すること。
• デジタルコンピュータに見られるような不整合な数学的体系が、すでに深刻な結果を伴わず広範に安全に使用されていることを示すこと。
• 有限の導出深さを用いて、不整合理論から一貫した結果を識別・抽出するための形式的枠組みを構築すること。
• 計算分野における不整合的システムの実用的使用と、矛盾を避ける理論的望みを調和させることで、完全に不整合な理論とその一貫した断片の区別を行うこと。
• 不整合な数学の広範な受容の基盤を築くために、不整合な枠組み内でも安全で信頼できる推論が可能であることを示すこと。

提案手法

• 言語 L、適切な式 W、および有限的推論規則 D: P(W) → P(W) を備えた形式的体系 (A, L, W, D) を定義する。
• 理論 T(A) 内の任意の文 P に対して、有限導出深さ n_A,P を定義する。これは、P ∈ T_n(A) を満たす最小の n である。
• D に (2.6) の有限性条件を導入することで、無限集合からの導出を有限部分集合に還元でき、論理的閉包が保たれることを保証する。
• P に至るすべての有限導出列の集合 Σ_A,P を定義し、任意の導出で有限個の公理しか使用しないことを保証する。
• 安全な文 P ∈ T(A) を、P ∈ T(B) を満たす非不整合な部分集合 B ⊆ A が存在する文として特定する。これにより、P が一貫したコアから導出されることを保証する。
• デジタルコンピュータの事例にこの枠組みを適用する。PA + (MI) は、M+1=M を満たすマシン無限大 M の存在により不整合的であるが、オーバーフローを回避することで安全な計算が維持されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オーバーフローによって不整合を生じるデジタルコンピュータのような不整合な数学的体系でさえ、論理的不整合を理由に安全に使用できるのだろうか？
• RQ2 不整合な体系から信頼性を持って導出可能な文と、矛盾に起因する文を区別する基準は何か？
• RQ3 不整合な公理的体系から一貫性があり有用な内容を形式的に抽出する方法は何か？
• RQ4 完全な一貫性を要せず、不整合理論の「安全な部分」を識別・利用する一般化された手法を開発することは可能か？
• RQ5 現代技術における矛盾や自己言及の実用的・非破壊的使用を踏まえ、それらの論理的矛盾や自己言及を回避するという歴史的傾向を再評価できるか？

主な発見

• M+1=M を満たすマシン無限大 M の存在により論理的に不整合であるが、PA + (MI) はデジタルコンピュータにおいて日常的に使用されており、深刻な障害を引き起こさない。
• 非不整合な公理の部分集合から有限ステップで導出可能な文に限定することで、不整合な体系における安全な推論が可能である。
• 有限導出深さ n_A,P は、文が全体的な不整合の結果であるのではなく、局所的な一貫した導出の結果であることを特定するための重要な指標である。
• 理論 T(A) = W（すべての文が導出可能）である不整合理論においても、この方法により有限かつ一貫した導出経路を持つ文だけが安全とみなされる。
• この枠組みは、矛盾の役割を再評価するための形式的基盤を提供し、すべての不整合が信頼性を損なうわけではないことを示している。
• デジタルコンピュータの実用的成功—それ自身が本質的に不整合的であるにもかかわらず—は、オーバーフローと矛盾を実際には回避することで、不整合が信頼性を損なわないことを示している。