[論文レビュー] On the SAV-DG method for a class of fourth order gradient flows

Hailiang Liu, Peimeng Yin|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、第4階勾配流れのためのスカラー補助変数（SAV）手法とペナルティフリーな不連続ガラーキン（DG）空間離散化を組み合わせたハイブリッド SAV-DG 法を提案する。補助変数を区分的多項式空間で事前に評価することで、共役勾配法の計算複雑性を $O(/mathcal{N}^2)$ から $O(/mathcal{N})$ に低減し、高い精度と優れた性能を実現する、非制限的エネルギー安定なシミュレーションを効率的に可能にする。

ABSTRACT

For a class of fourth order gradient flow problems, integration of the scalar auxiliary variable (SAV) time discretization with the penalty-free discontinuous Galerkin (DG) spatial discretization leads to SAV-DG schemes. These schemes are linear and shown unconditionally energy stable. But the reduced linear systems are rather expensive to solve due to the dense coefficient matrices. In this paper, we provide a procedure to pre-evaluate the auxiliary variable in the piecewise polynomial space. As a result, the computational complexity of $O(\mathcal{N}^2)$ reduces to $O(\mathcal{N})$ when exploiting the conjugate gradient (CG) solver. This hybrid SAV-DG method is more efficient and able to deliver satisfactory results of high accuracy. This was also compared with solving the full augmented system of the SAV-DG schemes.

研究の動機と目的

• 第4階勾配流れを記述する方程式（例えば、スワフト＝ホーエンベルク方程式や拡張型フィッシャー＝コルモゴロフ方程式）に従う、効率的でエネルギー安定な数値スキームの開発。
• SAV-DGスキームから生じる密行列の線形系を解く際の高い計算コストを、低減されたシステムで解消すること。
• 共役勾配法の計算複雑性を $O(\mathcal{N}^2)$ から $O(\mathcal{N})$ に低減させつつ、非制限的エネルギー安定性を維持すること。
• ハイブリッド SAV-DG スキームと、完全な拡張系および標準的な低減 SAV-DG スキームとの間で、精度、安定性、効率性の観点から性能を比較すること。

提案手法

• スカラー補助変数（SAV）手法とペナルティフリーな不連続ガラーキン（DG）空間離散化を統合し、エネルギー安定な SAV-DG スキームを構築する。
• 線形 DG 解法を用いて、区分的多項式空間で補助変数 $r^{n+1}$ を事前に評価し、時間に依存しないスパースな係数行列を実現する。
• スパースで時間に依存しない行列を有する低減線形系を解くハイブリッド SAV-DG スキームを構築し、共役勾配法による $O(\mathcal{N})$ の複雑性を達成する。
• SAV アプローチを用いて非線形項を二次形式に変換し、線形で非制限的エネルギー安定な時間離散化を可能にする。
• 3つのスキームを比較する：(1) 密行列を有する低減 SAV-DG、(2) スパース行列を有する完全な拡張 SAV-DG、(3) 事前に評価された $r^{n+1}$ を有するハイブリッド SAV-DG。
• 2段階の手順を用いてハイブリッド法を実装する：まず線形 DG 解法で $r^{n+1}$ を事前に計算し、その後、$O(\mathcal{N})$ のコストを持つ線形系を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第4階勾配流れのための SAV-DG スキームの計算コストを、エネルギー安定性を損なわずに低減できるか？
• RQ2 区分的多項式空間で補助変数を事前に評価することで、計算複雑性が顕著に低減するか？
• RQ3 ハイブリッド SAV-DG 法の性能は、完全な拡張系および標準的な低減 SAV-DG スキームと比較して、精度および効率性の観点でどのように差がつくか？
• RQ4 ハイブリッド SAV-DG 法は、高次精度と非制限的エネルギー安定性を維持しつつ、$O(\mathcal{N})$ の計算複雑性を達成できるか？

主な発見

• 補助変数 $r^{n+1}$ を区分的多項式空間で事前に評価することにより、共役勾配法の計算複雑性を $O(\mathcal{N}^2)$ から $O(\mathcal{N})$ に低減する。
• 数値結果から、ハイブリッド SAV-DG 法が3つのスキームの中で最も優れた性能を示し、CPU 時間のスケーリングが $O(\mathcal{N})$ であり、$N=64$ の場合の収束順序は約 1.01 に近い。
• スワフト＝ホーエンベルク方程式および拡張型フィッシャー＝コルモゴロフ方程式に対する数値的検証により、高い精度と非制限的エネルギー散逸則の保存が確認された。
• ハイブリッド SAV-DG スキームは、標準的な低減 SAV-DG（密行列を有する）よりも効率的であり、完全な拡張系と同等のコストであるが、実際の運用では両者を上回る性能を示した。
• 事前の評価手順により、係数行列がスパースかつ時間に依存しないまま保たれ、共役勾配法による効率的な反復解法が可能になった。