[論文レビュー] On the scaling limits of Galton Watson processes in varying environment

Vincent Bansaye, Florian Simatos|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非定常環境下における再生数の分散が無限大である場合を含めても、スケーリングされたガルトン＝ワトソン過程の弱収束に対する一般な十分条件を確立する。制限過程のラプラス指数についての後向き常微分方程式を導入し、古典的分岐方程式を一般化して、非保存的挙動（環境的ボトルネックによる有限時間内の爆発を含む）を捉える。

ABSTRACT

We establish a general sufficient condition for a sequence of Galton Watson branching processes in varying environment to converge weakly. This condition extends previous results by allowing offspring distributions to have infinite variance, which leads to a new and subtle phenomena when the process goes through a bottleneck and also in terms of time scales. Our assumptions are stated in terms of pointwise convergence of a triplet of two real-valued functions and a measure. The limiting process is characterized by a backwards ordinary differential equation satisfied by its Laplace exponent, which generalizes the branching equation satisfied by continuous state branching processes. Several examples are discussed, namely branching processes in random environment, Feller diffusion in varying environment and branching processes with catastrophes.

研究の動機と目的

• 分散が無限大である場合を含め、非定常環境下におけるガルトン＝ワトソン過程のスケーリング極限結果を、分散が有限である場合に限らない形で拡張すること。
• 再生数分布が無限大分散をとる場合の制限過程を、非保存的挙動を含めて特徴づけること。
• 平均再生数がゼロに近づく環境的ボトルネックを扱える枠組みを構築すること。
• 古典的分岐方程式を、制限過程のラプラス指数についての後向き常微分方程式へ一般化すること。
• 非定常環境下におけるフェラー拡散と災害を伴う分岐過程に関する既存の結果を統合・拡張すること。

提案手法

• 著者たちは、グリムヴァルの手法を時不変でない設定へ拡張し、ラプラス指数の収束を中心的な解析的道具として用いる。
• 制限過程は、そのラプラス指数が満たす後向き常微分方程式によって定義され、標準的分岐方程式を一般化する。
• 主な技術的革新は、非保存的過程が再生数がほぼゼロの環境に達した際に生じる不定形 ∞×0 を解消するための「ボトルネック」の新概念の導入である。
• 証明は、2つの実関数と測度からなる三つ組の収束に依拠し、スケーリングされた過程の弱収束を保証する。
• 確率的時間変換変換を用い、関連する写像の連続性を分析し、ランベルティおよびエイティエ＝クラーツの手法を適応する。
• 測度およびジャンプ成分を含む積分に関する詳細な推定を含み、一様有界性と緊密性の議論を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再生数分布が無限大分散をとる非定常環境下におけるガルトン＝ワトソン過程の系列が、いつ弱収束するか。
• RQ2 環境的ボトルネックによって有限時間内に爆発する可能性がある場合、制限過程はどのように特徴づけられるか。
• RQ3 時間変動する再生数分布をもつ時不変でない分岐過程に対して、古典的分岐方程式のどの一般化が適用可能か。
• RQ4 無限大分散の状況下で、制限過程のラプラス指数が後向き常微分方程式をどのように満たすか。
• RQ5 この枠組みは、確率的環境下の分岐過程や非定常環境下のフェラー拡散といった既知のモデルを扱えるか。

主な発見

• 本稿は、再生数分布の分散が無限大であっても、非定常環境下におけるスケーリングされたガルトン＝ワトソン過程の弱収束に対する一般な十分条件を確立する。
• 制限過程は、そのラプラス指数が満たす後向き常微分方程式によって特徴づけられ、これは古典的分岐方程式を一般化する。
• この枠組みは、平均再生数がほぼゼロの環境を通過する際に生じる有限時間内爆発を含む非保存的挙動を捉える。
• 著者たちは、無限大分散の場合の ∞×0 不定形を解消するための、新たなボトルネックの概念を導入する。
• この手法は、確率的環境下の分岐過程や非定常環境下のフェラー拡散といった、いくつかの重要なモデルに適用可能であり、既存の結果を拡張する。
• 収束は、緊密性とラプラス指数の収束を用いて証明され、測度および積分の均一有界性が必要なコンパクト性を保証する。