[論文レビュー] On the scaling of Polar codes: I. The behavior of polarized channels

S. Hamed Hassani, Rüdiger Urbanke|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2010

Error Correcting Code Techniques参考文献 2被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、極性符号の漸近的解析を精緻化し、偏極化フレームワークにおけるバタチャリャル過程のスケーリング行動を特徴づけている。逐次キャンセレーションデコードにおける誤り確率が $ \log(-\log(\mathbb{P}_{e}^{\text{SC}}(n,R))) \sim \frac{n}{2} + \sqrt{n}\frac{Q^{-1}(\frac{R}{I(W)})}{2} + o(\sqrt{n})$ とスケーリングすることを確立し、MAPデコードに対しても同様のスケーリングが成り立つことを示しており、高SNRにおける極性符号の有限長誤り率推定を高精度で可能にしている。

ABSTRACT

We consider the asymptotic behavior of the polarization process for polar codes when the blocklength tends to infinity. In particular, we study the problem of asymptotic analysis of the cumulative distribution $\mathbb{P}(Z_n \leq z)$, where $Z_n=Z(W_n)$ is the Bhattacharyya process, and its dependence to the rate of transmission R. We show that for a BMS channel $W$, for $R &lt; I(W)$ we have $\lim_{n o \infty} \mathbb{P} (Z_n \leq 2^{-2^{\frac{n}{2}+\sqrt{n} \frac{Q^{-1}(\frac{R}{I(W)})}{2} +o(\sqrt{n})}}) = R$ and for $R&lt;1- I(W)$ we have $\lim_{n o \infty} \mathbb{P} (Z_n \geq 1-2^{-2^{\frac{n}{2}+ \sqrt{n} \frac{Q^{-1}(\frac{R}{1-I(W)})}{2} +o(\sqrt{n})}}) = R$, where $Q(x)$ is the probability that a standard normal random variable will obtain a value larger than $x$. As a result, if we denote by $\mathbb{P}_e ^{ ext{SC}}(n,R)$ the probability of error using polar codes of block-length $N=2^n$ and rate $R<i></i>

研究の動機と目的

• ブロック長 $N=2^n$ が無限大に近づく際の極性符号におけるバタチャリャル過程 $Z_n$ のより精緻な漸近的特徴づけを提供すること。
• 二進記憶なし対称（BMS）チャネルにおける伝送レート $R$ に依存する累積分布 $\mathbb{P}(Z_n \leq z)$ の分析。
• 逐次キャンセレーションデコードにおける誤り確率 $\mathbb{P}_e^{\text{SC}}(n,R)$ の正確なスケーリング則の導出および、MAPデコードへの拡張。
• SCデコードとMAPデコードの両者において同じスケーリング行動が支配することを確立し、有限長誤り率の正確な予測を可能にすること。

提案手法

• 著者らは、極性化プロセスを無限大の二分木上の確率過程 $W_n$ としてモデル化し、各ノードが変換されたBMSチャネルに対応するとする。
• バタチャリャル過程 $Z_n = Z(W_n)$ を定義し、マルティングールおよび大偏差技法を用いて $\mathbb{P}(Z_n \leq z)$ を分析する。
• $Z_n$ が 0 または 1 に近いときの挙動を確率的に支配するため、補助的プロセス $E_n$ と $\bar{E}_n$ を導入する。
• $Q(x)$ によるガウス尾部関数を用いた $E_n$ および $\bar{E}_n$ の収束の境界を用い、良好なチャネルの生存確率の漸近的表現を導出する。
• 過程 $Q_n = Z_n(1 - Z_n)$ にマルコフの不等式を適用し、$Z_n$ の中央部における確率質量を制御する。
• 区間 $[0,1]$ を三つの領域に分割し、$Z_n$ が 0 または 1 に収束するチャンネルの割合を評価する。$Q^{-1}$ 関数を用いて、レート $R$ に応じたスケーリングを表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたレート $R < I(W)$ に対して、$n \to \infty$ のとき、累積分布 $\mathbb{P}(Z_n \leq z)$ はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 逐次キャンセレーションデコードにおける誤り確率 $\mathbb{P}_e^{\text{SC}}(n,R)$ は、$n$ と $R$ の観点からどのようにスケーリングするか？
• RQ3 同じスケーリング則がMAPデコードにおけるブロック誤り確率に対しても成り立つか？
• RQ4 $Q^{-1}$ 関数はどのようにして誤り確率の漸近的スケーリングに現れるのか？

主な発見

• $R < I(W)$ に対して、$\lim_{n\to\infty} \mathbb{P}(Z_n \leq 2^{-2^{\frac{n}{2} + \sqrt{n} \cdot \frac{Q^{-1}(R/I(W))}{2} + o(\sqrt{n})}}) = R$ が成り立ち、良好なチャネルのレート依存の閾値が示される。
• SCデコード誤り確率の対数対数スケーリングは、$\log(-\log(\mathbb{P}_e^{\text{SC}}(n,R))) \sim \frac{n}{2} + \sqrt{n} \cdot \frac{Q^{-1}(R/I(W))}{2} + o(\sqrt{n})$ を満たす。
• 同じ漸近的スケーリングはMAPデコード誤り確率に対しても成り立つことが示され、スケーリングがデコーディングアルゴリズムに依存しないことが示唆される。
• 解析により、$Z_n$ が 0 または 1 に収束する過程はガウス尾部の挙動に支配されており、$Q^{-1}$ 関数が偏極化の速度を定量化していることが明らかになった。
• $Z_n \leq 2^{-2^{\frac{n}{2} + \sqrt{n} \cdot \frac{Q^{-1}(R/I(W))}{2} + o(\sqrt{n})}}$ を満たすチャンネルの割合は、$n \to \infty$ のとき $R$ に収束する。
• この結果は、極性符号が $N=2^n$ に対して多項式より速いが、指数関数より遅い速度で誤り確率が減少することを示唆している。