[論文レビュー] On the Schwarzschild field

Naresh Dadhich|ArXiv.org|Apr 24, 1997

Relativity and Gravitational Theory参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

この論文は一般相対性理論におけるシュワルツシルト解を再考し、重力の非線形性—重力場自体が源として機能する性質—が、φというスカラー位相によって時空の曲率に埋め込まれていることを示している。φが定数であっても、その非線形性は時空の曲率に現れ、特にφが非ゼロの定数である場合、漸近平坦性が破れ、グローバルモノポール電荷が生成され、モノポール電荷を有するシュワルツシルトブラックホールが得られる。これは重力固有の非ニュートン的自己結合効果を明らかにする。

ABSTRACT

General relativity is a non-linear theory with the distinguishing feature that gravitational field energy also acts as gravitational charge density. In the well-known Schwarzschild solution describing field of an isolated massive body at rest, the scalar function $ϕ$ characterising the field acts as a gravitational potential as well as it curves space part of spacetime. We demonstrate explicitly that it is the latter property that accounts for the non-linear (gravity as its own source) aspect which is not explicit in usual derivations. It is worth noting that the Einstein vacuum equations ultimately reduce to the Laplace equation and its first integral which fixes zero of $ϕ$ at infinity. Thus the Schwarzschild field alongwith its asymptotic flat character is completely determined without application of any boundary condition by the field equations themselves. That means non-zero constant value of $ϕ$ will have non-vacuous effect. It in fact produces stresses exactly of the form required to represent a global monopole. By retaining freedom of choosing zero of $ϕ$, which will break asymptotic flatness, we can obtain the Schwarzschild black hole with global monopole charge. It is the non-linear aspect responsible for ``curving'' space, which has no Newtonian analogue, survives even when $ϕ$ is constant but not zero.

研究の動機と目的

• 標準的な導出を超えて、シュワルツシルト解における非線形性の起源を明確化すること。
• 重力ポテンシャルφが一部の状況で定数であっても、依然として時空を曲げ、自己重力に寄与することを示すこと。
• 外部境界条件を一切仮定せずに、真空アインシュタイン方程式がシュワルツシルト解を完全に決定することを示すこと。
• 重力ポテンシャルφに非ゼロの定数を採用した場合の物理的結果を調査すること。
• 漸近平坦性を緩和することで、グローバルモノポール電荷を有するシュワルツシルトブラックホール解を導出すること。

提案手法

• 重力ポテンシャルとしてのスカラー位相φを用いてシュワルツシルト解を分析し、時空の曲率の源とする。
• アインシュタインの真空方程式がラプラス方程式およびその第一積分に還元され、無限遠でφ = 0が固定されることを示す。
• 非ゼロの定数値を持つφの影響を検討し、漸近平坦性の破れとグローバルモノポール電荷の導入を明らかにする。
• 一般相対性理論の非線形構造を用いて、定数φですら時空の曲率に寄与することを示す。
• 境界条件を課さずに、場の運動方程式を直接適用して完全なシュワルツシルト解を導出する。
• 重力の非線形項—重力が自らを源とする性質—が、φが定数であっても、時空の曲率のおかげで存続することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重力ポテンシャルφが定数である場合、シュワルツシルト解における重力の非線形性はどのように現れるか？
• RQ2 標準的なシュワルツシルト解の導出では、なぜ重力の自己結合性が明示的に現れないのか？
• RQ3 真空中で重力ポテンシャルφに非ゼロの定数を採用した場合、どのような物理的効果が生じるか？
• RQ4 外部境界条件を一切仮定せず、真空アインシュタイン方程式がどのようにシュワルツシルト解を決定するか？
• RQ5 非ゼロのφを通じてシュワルツシルトブラックホールにグローバルモノポール電荷を付与することは可能か？また、一般相対性理論とどのように整合するか？

主な発見

• シュワルツシルト解は、外部境界条件を一切必要とせず、真空アインシュタイン方程式によって完全に決定される。
• スカラー位相φはラプラス方程式およびその第一積分を満たし、空間無限遠でφ = 0が固定される。
• φの非ゼロ定数値は漸近平坦性を破り、時空幾何学にグローバルモノポール電荷を生成する。
• φが定数であっても、時空の非線形的曲率は存続し、重力の自己結合性がニュートン的類似物を持たないことを示す。
• 得られる解は、φのゼロ点の選び方によって生じるグローバルモノポール電荷を有するシュワルツシルトブラックホールを記述する。
• 重力の非線形性—自己相互作用—は質量やエネルギーの存在に依存するのではなく、時空の曲率に埋め込まれている。