[論文レビュー] On the second and third exterior power of tangent bundles of Fano manifolds with birational contractions

Kazunori Yasutake|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、第二または第三外積冪が数的に効果的（nef）であるような、基本的であるような双有理的収縮をもつファノ多様体を分類する。極小有理曲線に沿った接束の性質と極小有理曲線の構造を用いて、$ n \geq 3 $ に対して $ \wedge^2\mathcal{T}_X $ が nef ならば $ X \cong \mathrm{Bl}_{\mathrm{pt}}(\mathbb{P}^n) $ が成り立つことを証明する。$ n \geq 4 $ に対して $ \wedge^3\mathcal{T}_X $ が nef ならば、$ \mathbb{P}^n $ の点での blown-up や、二次曲面のハイパーサーフェスを含む、7つの特定のファノ多様体のうちのいずれかに $ X $ が同型である。

ABSTRACT

In this paper, we classify Fano manifolds with elementary contractions of birational type such that the second or third exterior power of tangent bundles are numerically effective.

研究の動機と目的

• 接束の第二外積冪が数的に効果的であるような、基本的双有理的収縮をもつファノ多様体を分類すること。
• 同様の条件下で、接束の第三外積冪に対しても分類を拡張すること。
• Campana と Peternell が提起した問題、すなわち、極小有理曲線上で $ \wedge^q\mathcal{T}_X $ が nef であるならば、それが全体的にも nef であるかどうかを検証すること。
• 高次元における $ \wedge^2\mathcal{T}_X $ もしくは $ \wedge^3\mathcal{T}_X $ が nef である条件を満たすファノ多様体の完全なリストを提供すること。
• 基本的双有理的収縮をもち、かつ $ \wedge^2\mathcal{T}_X $ が nef であるようなファノ多様体として、唯一 $ \mathbb{P}^n $ の一点での blown-up であることを確立すること。

提案手法

• 極小有理曲線に沿った接束の分解型を用いて、$ \wedge^2\mathcal{T}_X $ および $ \wedge^3\mathcal{T}_X $ の制限を分析する。
• アンチ canonical 度の上限を求めるために、Bend and Break レムマを用いる。
• 錐定理と特異部分多様体の構造を用いて、特異部分多様体とその像の次元に基づいて可能な双有理的収縮を分類する。
• $ \mathbb{P}_Y(\mathcal{E}) $-バンドルに対して $ 0 \to \mathcal{T}_\pi \to \mathcal{T}_X \to \pi^*\mathcal{T}_Y \to 0 $ の完全列を用いて、外積冪の nef 性を分析する。
• Tsukioka や Kobayashi-Ochiai による、小ぶりな擬指数をもつファノ多様体の既知の分類結果を適用する。
• 完全列 $ 0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X(E) \to \mathcal{N}_{E/X} \to 0 $ の押し出し技術を用いて、全空間を底多様体上の射影バンドルとして再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基本的双有理的収縮をもつファノ多様体で、$ \wedge^2\mathcal{T}_X $ が数的に効果的であるものはどれか？
• RQ2 基本的双有理的収縮をもつファノ多様体で、$ n \geq 4 $ のとき $ \wedge^3\mathcal{T}_X $ が数的に効果的であるものはどれか？
• RQ3 $ \wedge^q\mathcal{T}_X $ がすべての極小有理曲線上で nef であるならば、ファノ多様体においてそれが全体的にも nef であるか？
• RQ4 $ \wedge^2\mathcal{T}_X $ もしくは $ \wedge^3\mathcal{T}_X $ が双有理的収縮の下で nef である条件を満たすファノ多様体の完全なリストは何か？
• RQ5 $ \wedge^2\mathcal{T}_X $ が nef であるという性質によって、$ \mathbb{P}^n $ の一点での blown-up は、ファノ多様体の中で一意に特徴づけられるか？

主な発見

• $ n \geq 3 $ に対して、$ X $ が基本的双有理的収縮をもち、$ \wedge^2\mathcal{T}_X $ が nef ならば、$ X \cong \mathrm{Bl}_{\mathrm{pt}}(\mathbb{P}^n) $、すなわち $ \mathbb{P}^n $ の一点での blown-up である。
• $ n \geq 4 $ に対して、$ \wedge^3\mathcal{T}_X $ が nef ならば、$ X $ は以下の7つの特定のファノ多様体のうちのいずれかに同型である：$ \mathrm{Bl}_{\mathrm{pt}}(\mathbb{P}^n) $、$ \mathbb{P}_{\mathbb{P}^{n-1}}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{n-1}} \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^{n-1}}(-2)) $、および $ \mathbb{P}_{Q^{n-1}}(\mathcal{O}_{Q^{n-1}} \oplus \mathcal{O}_{Q^{n-1}}(-1)) $。
• $ n \geq 4 $ のとき、$ \mathbb{P}^n $ に直線を沿って blown up した多様体も、$ \wedge^3\mathcal{T}_X $ が nef の場合に分類に含まれる。
• $ \mathbb{P}^1 $ と $ \mathbb{P}^{n-1} $ の一点での blown-up の積も、$ \wedge^3\mathcal{T}_X $ が nef の場合に解として含まれる。
• $ \mathbb{P}^5 $ 内の滑らかな二次曲面ハイパーサーフェス $ Q^4 \subset \mathbb{P}^5 $ を、平面に含まれない直線または円錐曲線に沿って blown up した多様体も、$ \wedge^3\mathcal{T}_X $ が nef の場合に分類に含まれる。
• 本論文は、$ \wedge^2\mathcal{T}_X $ もしくは $ \wedge^3\mathcal{T}_X $ がすべての極小有理曲線上で nef であるならば、それが全体的にも nef であることを確認し、Campana と Peternell の予想を裏付ける。