[論文レビュー] On the second order derivatives of convex functions on the Heisenberg group

Cristian E. Gutiérrez, Annamaria Montanari|ArXiv.org|Sep 9, 2003

Functional Equations Stability Results被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、ヘイゼンベルク群 $\mathbb{H}^n$ 上の $\sigma_2(\mathcal{H}(u))$-凸関数がクラス $BV_{\mathbb{H}}^2$ 属することを確立している。これは、その2階水平分布的微分がレドン測度であることを意味する。Monge–Ampère型作用素 $\sigma_2(\mathcal{H}(u)) + 12n u_t^2$ を導入し、比較原理と振動推定を証明することで、対称および非対称2階微分のギャップを埋め、$\mathcal{H}$-凸関数が水平方向に almost everywhere に2回微分可能であることを確認した。

ABSTRACT

In the Euclidean setting the celebrated Aleksandrov-Busemann-Feller theorem states that convex functions are a.e. twice differentiable. In this paper we prove that a similar result holds in the Heisenberg group, by showing that every continuous H-convex function belongs to the class of functions whose second order horizontal distributional derivatives are Radon measures. Together with a recent result by Ambrosio and Magnani, this proves the existence a.e. of second order horizontal derivatives for the class of continuous H-convex functions in the Heisenberg group.

研究の動機と目的

• ヘイゼンベルク群上の $\mathcal{H}$-凸関数が2階水平微分を almost everywhere に持つかどうかを解明すること。
• サブリーマン幾何学において、対称および非対称2階微分のギャップを埋め、$X_iX_j u$ がレドン測度であることを証明すること。
• 新しいMonge–Ampère型作用素 $\sigma_2(\mathcal{H}(u)) + 12n u_t^2$ を用いて、$\mathbb{H}^1$ におけるアレクサンドロフ型微分可能性定理を $\mathbb{H}^n$ に拡張すること。
• 振動制御を用いて、Lie括弧 $[X_1,X_2]u = -4\partial_t u$ のための $L^2$ 評価を確立し、$BV_{\mathbb{H}}^2$ の結果を高次元に拡張可能にする。

提案手法

• ヘイゼンベルク群 $\mathbb{H}^n$ 上に作用素 $\sigma_2(\mathcal{H}(u)) + 12n u_t^2$ を導入し、$\sigma_2(\mathcal{H})$-凸性を $\mathcal{H}$-凸性の一般化として定義する。
• 部分積分と $\mathbb{H}^n$ の幾何的性質を用いて、$C^2$ 関数に対する比較原理を証明し、$\mathbb{H}^1$ における先行結果を拡張する。
• 2階微分の非対称部分をLie括弧 $[X_i,X_j]u = -4\delta_{i,j\mp n} \partial_t u$ を通じて制御するための振動推定（命題4.2）を確立し、$\sigma_2(\mathcal{H})$-凸関数に対する $\partial_t u$ の $L^2$ 界を導出する。
• 振動推定を用いて、非対称部分をLie括弧を通じて制御し、$X_iX_j u$ がレドン測度であることを示す。
• $\mathcal{H}$-凸関数にこの結果を適用し、$BV_{\mathbb{H}}^2$ に属することを証明し、[1, 定理3.9] を用いて水平方向に2回微分可能である almost everywhere であることを結論づける。
• ヘイゼンベルク群の構造とベクトル場 $X_j$ の非可換性を活用し、交換子 $[X_i,X_j] = -4\partial_t \delta_{i,j\mp n}$ を通じて、対称および非対称微分を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $\mathcal{H}$-凸関数は $\mathbb{H}^n$ 上で2階水平微分を almost everywhere に持つか？
• RQ2 $\mathcal{H}$-凸関数のクラスが $BV_{\mathbb{H}}^2$ に属することを示せるか？ これにより、2階水平分布的微分がレドン測度であることが保証される。
• RQ3 一般化されたMonge–Ampère作用素 $\sigma_2(\mathcal{H}(u))$ を用いて、$\mathbb{H}^1$ におけるアレクサンドロフ型最大原理を $\mathbb{H}^n$ に拡張可能か？
• RQ4 $\mathcal{H}$-凸関数より広いクラスの関数について、$\partial_t u$ の $L^2$ 評価をどのように導出できるか？ これにより非対称微分が制御可能になる。
• RQ5 Lie括弧 $[X_i,X_j]u$ は、$X_iX_j u$ を対称部と反対称部に分解する際に果たす役割は何か？ そして、この分解を用いてレドン測度の性質を証明するにはどうすればよいか？

主な発見

• $\mathbb{H}^n$ 上の $\mathcal{H}$-凸関数のクラスは $BV_{\mathbb{H}}^2$ に含まれており、2階水平分布的微分がレドン測度であることを意味する。
• 著者らは $\sigma_2(\mathcal{H})$-凸関数に対して比較原理を証明し、振動推定を導出する上で不可欠な役割を果たす。
• 振動推定（命題4.2）により、$\sigma_2(\mathcal{H})$-凸関数に対して $\partial_t u$ の $L^2$ 制御が得られ、$\mathcal{H}$-凸関数のクラスを越えて拡張される。
• 非対称部分 $X_iX_j u$ はLie括弧 $[X_i,X_j]u = -4\delta_{i,j\mp n} \partial_t u$ を通じて制御され、$\partial_t u$ の $L^2$ 界により、完全な2階微分がレドン測度であることが保証される。
• 分解 $X_iX_j u = \frac{X_iX_j u + X_jX_i u}{2} + \frac{[X_i,X_j]u}{2}$ を用いることで、対称部は [5, 定理4.2] よりレドン測度であり、反対称部は $L^2(\partial_t u)$ により制御可能となり、全体としてのレドン測度性が得られる。
• [1, 定理3.9] の推論として、$\mathbb{H}^n$ 上の $\mathcal{H}$-凸関数は almost everywhere に2回水平微分可能であることが示され、アンブロシオとマグナーニが提起した問いに答えている。