[論文レビュー] On the Seiberg-Witten Approach to electric-magnetic Duality

Werner Nahm|ArXiv.org|Aug 19, 1996

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 2被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、モジュラー形式と電磁双対性を用いて、ハイパーマニフェルドを伴う$N=2$超対称$SU(2)$ゲージ理論のSeiberg-Witten解を再定式化し、コンact化されたモジュライ空間上の正則微分形式を用いて中心的荷重を導出する。$N_f=0,2,3$に対して、S行列理論にインspiredされた一様な前ポテンシャルの導出がなされ、$N_f=1$ではモジュラーパラメータ空間の分岐二重被覆が生じるため、一貫性の破綻が特定される。

ABSTRACT

Electric-magnetic duality allows to calculate the central charges of N=2 supersymmetric theories with massless hypermultiplets as derivatives of simple modular forms. The procedure reproduces the Seiberg-Witten results for N_f=0,2,3 in a uniform way, but indicates open problems for N_f=1.

研究の動機と目的

• 電磁双対性を用いて、ハイパーマニフェルドを伴う$N=2$超対称$SU(2)$ゲージ理論のSeiberg-Witten解を、S行列理論にインspiredされた一様な形で導出すること。
• 電磁双対性がモジュライ空間の構造と許容されるモジュラー群を制約する役割を理解すること。
• コンact化されたモジュライ空間上の正則微分形式を用いて、中心的荷重と前ポテンシャルを決定すること。
• $N_f=1$における標準的なSeiberg-Wittenアプローチの不一致を特定し、モジュラーパラメータ空間の分岐二重被覆の必要性を示唆すること。

提案手法

• 電磁双対性を用いて、モジュライ空間を上半平面${\cal H}/\Gamma$の有限被覆に制限し、グローバル対称性と電荷格子構造によって制限されたモジュラー群を特定する。
• 電荷格子上の$Spin(2N_f)$表現に基づいて、許容されるモジュラー部分群$\Gamma_0(N)$を同定する。
• コンact化されたモジュライ空間上での正則微分形式$da_D - \tau da$を構成し、それが球面である場合には消えることを示す。
• Dedekindのエータ関数の積を用いて、負の重みのモジュラー形式として中心的荷重関数$c(\tau)$を導出する。
• $N_f=1$に対して、一貫性の欠如を解消するため、モジュラーパラメータ空間の分岐二重被覆を導入し、$u$はヒッグス粒子の真空期待値をパラメータ化する。
• $c$点およびオーロリッド点における$u$の振る舞いを用いて、正規化を固定し、重み$-6$および$-12$のモジュラー形式を用いて$c_{\pm}^6$の関数的形を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 電磁双対性をどのように用いることで、$N_f$に依存しない一様な方法で、ハイパーマニフェルドを伴う$N=2$超対称$SU(2)$ゲージ理論の中心的荷重を導出できるか？
• RQ2 標準的なSeiberg-Wittenアプローチが$N_f=1$で一貫性を持たないのはなぜで、どのような代替的構造がこれを解消するか？
• RQ3 電荷格子上のグローバル$Spin(2N_f)$対称性の表現から、どのようなモジュラー群の制約が生じるか？
• RQ4 モジュライ空間のコンact化が、正則微分形式および前ポテンシャルの形にどのように制約を加えるか？
• RQ5 ヒッグス粒子の真空期待値$u$は、異なる$N_f$に対してモジュライ空間の構造をどのように決定するか？

主な発見

• $N_f=0,2,3$では、中心的荷重関数$c(\tau)$がDedekindのエータ関数の比として導出される：$N_f=2$に対しては$c(\tau) \sim \eta(\tau)^2 / \eta(2\tau)^4$、$N_f=0$に対しては$c(\tau) \sim \eta(\tau/2)^2 / \eta(\tau)^4$、$N_f=3$に対しては$c(\tau) \sim \eta(2\tau)^2 / \eta(4\tau)^4$であり、インスタントン数は偶数または4の倍数に制限される。
• $N_f=0,2,3$のモジュライ空間は球面であるため、$da_D - \tau da = 0$となり、$a = dc/d\tau$を意味し、前ポテンシャルの明示的式が得られる。
• $N_f=1$では、電荷格子と$SU(3)$対称性の不一致がオーロリッド点で生じるため、標準的なモジュラー手法は失敗する。モジュラー空間${\cal H}/\Gamma$の分岐二重被覆が必要となる。
• $N_f=1$の関数$u$は$u^3_\pm \sim 2^{-7}(E_4^3 \pm E_6 E_4^{3/2}) \eta^{-24}$として表現され、オーロリッド点$\tau^o = e^{\pi i/3}$に平方根の分岐カットを持つ。
• $N_f=2$では、ヒッグス粒子$u$は$u = \eta(\tau)^8 / \eta(2\tau)^8 + 8$として一意に固定され、オーロリッド点に唯一のゼロを持つ。
• $c$が内部で極を持たないとき、$da/du \sim c^{-1}$の関係が成り立ち、$c$点近傍での摂動的$\beta$関数の振る舞いと整合することが確認される。